5.2 三角函数的概念-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手细高中数学必修第-册尺A 5.2三角函数的概念 重点和难点 课标要求 重点：任意角的正弦、余弦，正切的定义，同角三角函数的基本 L.理解三角函数的概念。 关系 2.掌握三角函数值的符号。 难点：影响单位圆上，点的坐标变化的因素分析，三角函数的定 3.掌握诱导公式一与同角三角函数基本 义方式的理解，三角函数内在联系性的认识. 关系式 01必备知识梳理◆一 母础梳理 知识点1三角函数的概念 1.单位圆的概念 同敲黑板 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心、以单位长度为半 对三角函数定义的理解 径的圆为单位圆.锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标表 1,任意角的三角函数是 示.类似地，我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 在坐标系中定义的，角的范国 2.利用单位圆定义三角函数 是使函数有意义的实数集， 如图5.2-1，设a是一个任意角，a∈R,它的终边OP与单位 2.三角函数的记号是一 圆相交于点P(x,y),那么： 个整体，离开a的sin,cos,tan 等是无意义的，如sina表示的 P(.y 是一个值而不是sin与a的积 3.由于角的集合与实数 41,0) 集之间可以建立一一对应的 关系，所以三角函数可以看成 图5.2-1 是自变量为实数或其子集的 (I)把点P的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sin&,即 函数 4.三角函数值是一个比 y=sin a; 值，是一个实数，这个实数的 (2)把点P的横坐标x叫作a的余弦函数，记作cosa,即 大小和点P(x,y)在终边上的 x=cos a: 位置无关，而由角a的终边位 (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值兰叫作α的正切，记作 置所决定，对于确定的角a,其 终边的位置也是唯一确定的. tana,即 y=tana(x≠0). 可以看出，当a=受十kx(k∈Z)时，a的终边在y轴上，这时 262 第五章三角函散收组 点P的横坐标x等于0，所以义=tana无意义.除此之外，对于确 定的角a,Y的值也是唯一确定的.所以，义=tana(x≠0)也是以 角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的 函数，称为正切函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通 常将它们记为： 正弦函数y=sinx,x∈R; 余弦函数y=cosx,x∈R: 正切函数)y=anx,x≠登+x∈D, 知识点2三角函数的定义域和函数值的符号 1,三角函数的定义域 园记方法 三角函数 定义域 巧记三角函数的符号 y=sin a R 1.正弦一、二正，余弦一、 四正，正切一、三正或一全正， y=cos a R 二正孩，三正切，四余孩（表示 y=tan a aa≠受+kx,k∈Z 在第一象限三种三角函数值均 为正，在第二象限只有正弦为 有时也把正切函数的定义域写成(k红一受，kx十罗)，k∈Z的 正，在第三象限只有正切为正， 形式 在第四象限只有余弦为正). 2.三角函数值在各象限的符号 2.若终边落在坐标轴上， 则可用定义直接求出三角函 依三角函数的定义，不难知道三角函数在各个象限内的符号 数值 如图5.2-2所示. y 冒敲黑板 由公式可知，三角函数值 sin a COs a 有“周而复始”的变化规律，即 图5.2-2 角a的终边每绕原，点旋转一 知识点3诱导公式一 同，函数值将重复出现.这说 明了角和三角函数值的对应 由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数 关系是多角对一值的关系，即 的值相等.由此得到一组公式（公式一）： 如果给定一个角，它的三角函 sin(a+k·2x)=sina, 数值只要存在，就是唯一的：反 cos(a十k·2π)=c0sa, 过来，如果给定一个三角函敏 tan(a+k·2π)=tana,其中k∈Z 值，却有无数多个角与之对应 263 重随点手细高中数学必修第一册uA 雨难拓展 部分特殊角的三角函数值 重难点1同角三角函数的基本关系式 0 0 1.同角三角函数的基本关系 /2 基本关系式 语言描述 不 1 平方 存在 在 关系 sin'a+cosa=1 同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1 国敲黑板 商数 sin a=tan a 同一个角a的正弦、余弦的商等于角a的 关系 cos a (c0sa≠0) 正切 1.注意“同角”，这里“同 角”有两层含义，一是“角相 2.关系式的变形 同”，二是对“任意”一个角（在 sin'a=1-cos'a: 使函效有意义的前提下)关系 cos2a=1-sin'a: 式都成立，即与角的表达形式 sina十cos2a=1→ sina=士√/1-cos2a: 无关.如sin3a十c0s3a=1成 立，但是sina十cosB-1就不 cosa=土√1-sina; 一定成立 (sina士cosa)2=1±2 sin acos