5.1 任意角和弧度制-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

5 第五章 三角函数 5.1任意角和弧度制 重点和雅点 课标要求 1,任意角的概念 重点：将0到360°范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度 2.终边相同的角. 与角度的互换 3.象限角的概念及表示 难点：任意角概念的建构，孤度的概念，用集合表示终边 4.1孤度角及孤度的概念. 相同的角。 5.角度与孤度的换算. 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1任意角的概念、表示及分类 1.角的概念 国敲黑板 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 角的概念剖析 一个位置所形成的图形. 1.正角、负角的引入是从 2.角的表示 正数、负数类比而来的.它们 如图5.1-1所示 是用来表示具有相反意义的 旋转量 (1)始边：射线的起始位置OA. 2.正确理解正角、负角、 (2)终边：射线的终止位置OB. 图5.1-1 零角的定义，关键要抓住角的 (3)顶点：射线的端点O 终边是由角的始边所对应的 (4)记法：图中的角a可记为“角a”或“∠a”或“∠AOB”. 射线按照逆时针方向旋转、顺 3.角的分类 时针方向旋转还是没有旋转 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向 得到的 顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 3.高中阶较所说的角实 际上是初中所学概念“由一点 名称 定义 图形 出发的两条射线组成的图形 条射线绕其端点按逆时 B 正角 叫作角”的推广.对于角的形 针方向旋转形成的角 成过程，既要知道旋转量又要 条射线绕其端点按顺时 3 知道旋转方向. 负角 针方向旋转形成的角 -A 4.角的概念推广后，角度 的范围不再限于0°~360（本 零角 条射线没有作任何旋转 6 A(B) 书中，角a在0°~360°范围内 250 第五章三角函教收组 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和 是指0≤a<360). 零角 5.正常情况下，如果以零 知识点2象限角与轴线角 时为起始位置，那么钟表的时 1.象限角、轴线角的概念 针或分针在旋转时所形成的 角总是负角 (1)象限角：在直角坐标系内，使角的顶点 与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 30 刀提个醒 那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是 -135° 象限角与轴线角的集合 第儿象限角.例如，图5.1-2中的30°角，一135 的表示形式不唯一，如第四象限 角分别是第一象限角和第三象限角 图5.1-2 角也可以表示为{ak·360° (2)轴线角：如果角的终边在坐标轴上，我 90°<a<k·360°，k∈Z:终边 们就认为这个角不属于任何一个象限，这样的角叫作轴线角 落在x轴的非正半轴上的角 2.各象限角的集合 的集合也可以表示为{aa 象限角 象限角a的集合表示 k·360°-180°，k∈Z. 第一象限角 {ak·360°<a<k·360°+90°，k∈Z 第二象限角 {ak·360°+90°<a<k·360°+180°，k∈Z 第三象限角 {ak·360°+180°<a<k·360°+270°，k∈Z 第四象限角 {ak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z 3.轴线角的集合 角a终边的位置 角&的集合表示 在x轴的非负半轴上 {aa=k·360°，k∈Z 在x轴的非正半轴上 {aa=k·360°+180°，k∈Z 在y轴的非负半轴上 {aa=k·360°+90°，k∈Z 在y轴的非正半轴上 {aa=k·360°+270°，k∈Z 在x轴上 {aa=k·180°，k∈Z 同敲黑板 在y轴上 {aa=k·180°+90°，k∈Z 锐角、0°一90°的角、小于 在坐标轴上 {aa=k·90°，k∈Z} 90的角以及第一象限角的关 知识点3终边相同的角 系用Venn图表示，如图5.1-3 1.终边相同的角的概念与表示 所示 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成一个集合S, 角 小于90°的角 它们彼此相差k·360(k∈Z),即S={3到B=a十k·360°，k∈Z. 2.对终边相同的角的理解 0-90的角 A锐0 (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的 第象限角 始边与x轴的非负半轴重合. (2)a是任意角且k为整数. 图5.1-3 251 国雕点手细高中数学必修第-册RA (3)k·360°与α之间用“+”号连接。 (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{xx=k·360°一 90°，k∈Z与{xx=k·360°+270°，k∈Z均表示终边在y轴的 非正半轴上的角的集合。 (5)S={8l3=a十k·360°，k∈Z}与{33=a-360°·k,k∈Z 都表示与α终边相同的角的集合. 知识点4弧度与弧度制的概念 1.弧度的概念 卫提个醒7 如图5.1-4，射线OA绕端点O旋转到OB形 B 1.以孤度为单位表示角