4.3 对数-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手高中数学必修第-册尺UA 4.3对数 重点和难点 课标要求 重点：对数的概念，对数的运算性质 1.理解对数的概念，了解常用对数与自然对数 难点：对数运算性质的得出，对数换底公式 2.掌握对数的运算法则及适用条件. 的推导 3.理解对数的换底公式及应用， -01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1对数 1.对数的概念 目敲黑板 (1)对数：一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫作 1.对数由指数变换而来， 以a为底N的对数，记作x=logN,其中a叫作对数的底数，V 对数式logN=b是由指数式 a=N变换而来的，两式底数 叫作真数， 相同，对数中的真数V就是 (2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫作常用对数， 指数式中的暴的值N,而对数 为了简便，N的常用对数logio N简记为lgN.例如logo5简记为 值b是指数式中的幂指数.在 lg5,log1o3.5简记为lg3.5. 指数式a=N中，若已知a,N 的值，求幂指数b的值，便是 (3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828… 对数运算b=logN. 为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，为了简便，N的自然 2.对数logN只有在a 对数logV简记为nN.例如log5简记为ln5,log3.5简记为 0,且d≠1，N>0时才有意 ln3.5. 义.理由如下： 2.对数的性质 (1)当a<0,且N为某些 数值时，b不存在，如由于式子 根据对数的定义，对数logN(a>0,且a≠1)具有如下性质： (一2)=3没有实数解，所以 (1)负数和0没有对数，即N>0. 1og-3不存在，为此，规定a (2)1的对数是0，即log.1=0. 不能小于0. (3)底数的对数等于1，即loga=1. (2)当a=0,且N≠0时， logN不存在：当a=0,且N= (4)对数恒等式：如果把=N中的b写成ogN,那么N=N 0时，b有无数个值，不能确定 3.对数式与指数式的关系转化 为此，规定a≠0，且N≠0. 关系如下： (3)当a=1,且N≠1时， b不存在，如1og2不存在：而 指数 对数 直数 4=1,且N=1时，b可以为任 N>0 2 log N 何实数，不能确定，为此，规定 底数(a>0.1la≠1) a≠1. (4)由于正数的任何次暴 196 第四章指散函敬与对教函教宝 利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互 都是正数，即d>0(a>0),故 化，从而使问题顺利地得到解决。 N=a>0. 在规定了a>0,a≠1， 4.对数式、指数式与根式的关系 N0后，对数logN便随者 指数式a=N,根式N=a和对数式log.N=b(N>0,a> a,V的确定而唯一确定，根据 0,a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式. 这一规定，可知并不是每一个 指数式都能直接改写成对数 表达形式 b N 对应的运算 式.知（一2）2=4，不能写成 d=N 底数 指数 幂 乘方，由a,b求N 1og-24=2.只有4>0，a≠1， N>0时，才有=N台b= N=a 方根 根指数 被开方数 开方，由N,b求a log.N. 3.“l0g”同“十”“×” log.N=b 底数 对数 真数 对数，由N,a求b “√一”等符号一样，表示一种 运算，即已知一个数和它的暴 由此可见： 求指数的运算，这种运算叫作 (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算。 对数运算，对数运算的符号要 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及其运算的 写在数的前面 关键 知识点2对数的运算性质 1.对数的运算性质 冒敲黑板 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： 对数运算性质的理解 1.熟练掌握对数运算性 (1)log (M.N)=log M+log.N. 质的逆向应用：逆向应用对数 可表述为：积的对数等于对数的和。 的运算性质，可以将几个对数 M (2)log.=log.M-log.N. 式化为一个对数式，有利于 可表述为：商的对数等于对数的差 化简：例知1og3十log号 (3)logM"=nlog,M(n∈R) lg(3x号)=log4曰lg2=2 可表述为：指数幂的对数等于底数的对数的指数倍. 2.对于每一条运算性质， 2.对数运算性质的推导 都要注意只有当式子中所有 的对数都有意义时，等式才成 (I)设M=a",N=a”,则MN=am+.由对数的定义可得 立.如1og[(-2)×(-3)] logM=m,logN=n,log(M·N)=m+n.这样，我们可得 是存在的，但10g(一2)与 log(M·N)=logM+logN. 10g(一3)均不存在，不能写成 (2)同样地，设M=a,N=a,则兴-a由对数的定义可 1og[(-2)×(-3)]= 1