4.2 指数函数-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手高中数学必修第-册尺UA 4.2指数函数 重点和难点 课标要求 1.理解指数函数的概念 重点：指数函数的概念、图象和性质 2.掌握指数函数的图象与性质。 难点：指数函数概念及性质的理解 3.会求复合型指数函数的定义域，值域 4,了解指数函数图象的基本变换 门01-必备知识梳理◆一 母础梳理 知识点1指数函数的概念 1.指数函数的定义 同敲黑板 一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫作指数函数，其中指数 1.规定底数a>0,且a≠ 1的原因 x是自变量，定义域是R (1)若a=0,则当x0时， 2.指数函数的结构特征 d=0;当x≤0时，d无意义. (1)形如y=a'.(2)底数a满足a>0,且a≠1.(3)指数是x. (2)若a<0,则对于x的 因此，指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是不是指 某些数值，可使无意义.如 数函数关键看三点：①系数.②底数.③指数. y(-2对子=… 如y=2r(x∈N),y=2十1，y=2·3,y=3+等都不是指 品数值不存在. (3)若a=1,则对任意的 数函数.函数y=ka(k≠0，a>0,且a≠1)称为指数型函数，y= x∈R,a=1是一个常量，没 a(x∈N)称为正整数指数函数 有研究的必要性 [说明]由于ya=(日厂，周此y=a也是指数画数 为了避免上述各种情况 的发生，所以规定a>0,且 知识点2指数函数的图象与性质 a≠1.有此规定后，对任意的 1.函数y=(a>0,且a≠1)的图象和性质 x∈R,a'都有意义，且a>0. 2.函数y=a(a>0,且 a>1 0a1 a≠1)的定义域为什么是R? 因为指数的概念已经扩 充到了实数，所以当a>0,且 图象 (0,L (0.1)y=1 a≠1，x是一个实数时，a表 示一个确定的实数，即a(a> 定义域 R 0,且a≠1)对任意实数x都 性 值域 有意义，因此指数函数y=: (0,+00) 的定义域是R 定点 图象过定点(0,1) 184 第四章指散函敬与对教函散么9 续表 同敲黑板 4>1 0a<1 如何进一步准确把握指数函数 的图象与性质？ 单调性在（一∞，十∞）上是增函数 在（一∞，十∞）上是减函数 1.当底数a大小不定时， 分“a>1"和“0<a<1”两种情 形讨论 质函数值 当x>0时，>1： 当x>0时，0<a<1: 当0a<1时，x→十o∞， 的变化 当x=0时，a=1； 当x=0时，d=1； y0,函数y=a的图象是下 情况 当x<0时，0a<1 当，x<0时，d>1 降的，即函数单调递减.a的 值越小，通减的速度越快.当 对称性 函数y=a 与y=() 的图象关于y轴对称 a>]时，r→+∞，y→十o∞， 函数y=a的图象是上升的， 2.函数y=a与y=(日广(a>0,且a≠1)的图象间的关系 即函数单调递增.a的值越 大，递增的速度越快 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2和y=(侵厂的图 2.底数变化决定指数函 数图象的变化。 象，如图4.2-1所示，经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴 指数函数y=a的图象 对称 如图4.22所示，由指数函数 y=a的图象与x=1相交于 点(1，a)可知： (1)在y轴右侧，图象从 上到下相应的底数由大变小 图4.2-1 (2)在y轴左侧，图象从 下到上相应的底数由大变小. 般地，函数y=d与y=(月广(a>0,且a≠1)的图象关于 如图中的底数的大小关 系为0a1<a1<1<a<a1. y轴对称。 事实上，在函数y=的图象上任取一点P(x,y),点P(x,y) 关于y轴的对称点为P'(一x,y),显然点P在函数y= a的图象上 由于点P是任意取的，所以函数y=的图象上任意一点关 图4.2-2 于y轴的对称点都在函数y=(口 的图象上，反之也成立。 [注意]根据函数y=a与y= (日)广(a>0,且a≠1)的图象 间的关系，可得“底数互为倒数，两指数函数图象关于y轴对称” 的结论 185 重随点手细高中数学必修第一册尺UA 雨难拓展 重难点1指数函数图象的变换 1.指数函数图象的平移变换 卫提个醒7 遵循“左加右减，上加下减”的规律，即 作好草图对解决数学问 向左平移(>0)个节位长度 题，有时起到非常关键的作 *y=☑“的图象 向右半移(>0)个单位长度 y=a的图象 用，从草图中能找到解题的思 y二a的图象向：平移(h>0个单位长度 y=a十h的图象 路，得出正确的答案.作草图 向下平移(h>0)个单位长度 y=a-h的图象 既要快，又要保证关键的地方 2.指数函数图象的对称变换（或翻折变换） 不能出错 关干y轴对称 例1(1)是由f(x)=2 y=a的图象 关于x轴对称 f(x-1)=21,则f(x-1) y=a的图象三 3y=-a的图象 关于煤点对称 y=-a