4.1 指数-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 重点和难点 课标要求 1.理解根式与指数幂的意义. 重点：实数指数篆的运算及其性质。 2.掌握根式的化简。 难点：用有理数指数幂逼近无理数指数暴。 3.掌握有理数指数暴的运算。 口-01必备知识梳理 基础梳理 知识点1根式的概念及性质 1.n次方根的概念 冒敲黑板 般地，如果x=a,那么x叫作a的n次方根，其中n>1, 对于根式a,要注意以下 几点： 且n∈N. 1.n>1,且n∈N. 2.1次方根的性质 2.当n为大于1的奇数 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 时，a对任意的实数a都有意 义，它表示a在实数范围内唯 方根是一个负数.这时，a(a∈R)的n次方根用符号"a表示， 一的一个n次方根，从而有 (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且是两个绝对值 (a)"=a. 相等，符号相反的数（即互为相反数）.这时，正数a的正的n次方 3.当n为大于1的偶数 根用式子a表示，负的n次方根用式子一va表示.正数a的正的 时，a只有当a≥0时才有意 义，当a<0时无意义.a(a≥0) n次方根与负的n次方根可以合并写成士a(a>0). 表示a在实数范围内的一个n (3)0的任何次方根都是0，记作ō=0. 次方根，另一个是一a,从而 3.根式的概念 有（土a)"=a. 式子a叫作根式，这里n(n>1,且n∈N·)叫作根指数，a叫 P作比铰 作被开方数！ a与（ā）"的区别 l.a"是实数a"的n次 4.根式的性质 方根，是一个恒有意义的式 (1)(a)"=a(n>1,且n∈N). 子，不受n的奇偶限制，但这 个式子的值受n的奇偶限制. (2)n为奇数时，Va"=a. 其算法是对a先乘方，再开方 a,a≥0， (3)n为偶数时，a"=a= (都是n次)，结果不一定等于 -a,a0. a,当n为奇数时，Va=a:当 175 国避食手细高中数学必修第一册RA 知识点2分数指数幂 n为偶效时，a=a|= L.正数的正分数指数幂的意义：a=am(a>0,m,n∈N', a,a≥0， -d,a0. 且n>1) 2.(a)”是实数a的n次 2.正数的负分数指数幂的意义 >0,m,n∈N', 方根的n次暴，其中实数a的 取值由n的奇偶决定.其算法 且n>1). 是对a先开方，后乘方（都是n 3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 次)，结果恒等于a, 于是可知在a>0,m,n∈N,且n>1的条件下，有am=a兰， 即任何根式都可以写成分数指数幂的形式. 国敲黑板 里难拓展 对分数指数幂概念的理解 L.分数指数暴是指数概 重难点1实数指数幂的运算性质 念的又一推广，分数指数暴 1.有理数指数幂 a不可理解为皿个“相来，它 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推 广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也 是根式的一种新的写法.在这 同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质： 样的规定下，根式与分致指数 幂是表示相同意义的量，只是 (1)aa=a(a>0r,s∈Q) 形式不同而已。 (2)(a)=a2(a>0,r,s∈Q) 2.正数的负分数指数暴 (3)(ab)"=a'b(a>0,6-0.rEQ). 在有意义的情况下，总表示正 2.无理数指数幂 数而不是负数.把根式a"化 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于 成分数指数幂的形式时，不要 无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过 轻易对皿进行约分。 剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂a(a> 0,a是无理数)是一个确定的实数. 3.在保证相应的根式有 可以证明，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 意义的前提下，负数也存在分 数幂 数指数暴，如（一5）于= [说明]对于任意实数，都有1=1,0的正无理数指数暴为 (一5)7有意义，但(-5)= 0,0的负无理数指数暴没有意义. √/（一5）严就没有意义. 3.幂指数的扩充 幂指数 定义 底数的取值范围 正整数 a=aa·…·a(n∈N) a∈R 指数 个 整 零指数 a°=1 a≠0且a∈R 数 负整数 a= a(n∈N") a≠0且a∈R 指数 176 第四章指教函教与对教函敬么 续表 幂指数 定义 底数的取值范围 正分数a=am(m,n∈N,n>1, n为奇数 a∈R 有 指数 且m,n互质) ”为偶数 a≥0 数指数 负分数a”= 1 (m,n∈N°，n>1, n为奇数 a≠0且u∈R Va" 指数 且m,n互质) n为偶数 a>0 当a>0且x是无理数时，a 无理数指数 般规定a>0 也是一个确定的实数 例口用分数指数幂的形式表示下列各式， (1Wava vava. a2E