3.3 幂函数-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国避食手细高中数学必修第一册RA 3.3 幂函数 重点和难点 课标要求 重点：五个常见篆函数的图象与性质， 1.了解暴函数的定义. 难点：画y=x与y=x的图象，通过五个暴函数的图 2.掌握幂函数的图象 象概括出它们的共性 3.掌提幂函数的性质. 01业备知识梳理一。 基础梳理 知识点1幂函数的概念 1.幂函数的定义 曰敲黑板 般地，函数y=x叫作幂函数，其中x是自变量，a是常数 判断一个函数是否为暴 2.幂函数的特征 函数的依据是该函敏是否为 (1)z的系数为1. y=x(a是常数)的形式.反过 来，若一个函致为幂函数，则 (2).z“的底数是自变量. 该函数也必具有这一形式，这 (3)z的指数为常数， 也是我们解决某些问题时的 只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数.形如y= 一个隐含条件 (2.x)°，y=2x,y=十6等的函数都不是幂函数. 知识点2幂函数的图象 1.一般函数图象的画法 列表、描点、连线，幂函数的图象也可以用此法画出.图3.3-1 为在同一坐标系内，当a分别为1,23，号，-1时幂函数y=r的 函数图象。 y=x -3-2-1 234 图3.3-1 146 第三章函教的概念与性质么 2.幂函数的图象在第一象限的分布情况 幂函数y=的图象在第一象限内具有如下特征：直线y 1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三 个区域(I)、(Ⅱ)、（Ⅲ），如图3.3-2所示. 若α∈(1，十∞)台y=x的图象经过区域(I): 若α∈(0,1)台y=x的图象经过区域（Ⅱ）： 若α∈（一6∞，0）台y=x的图象经过区域（Ⅲ） 注意到在直线x=1的右侧的图象，从x轴起，幂函数y= 的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低” ()y= () (Π) 01 图3.3-2 利用幂函数在第一象限的图象特征可以作出幂函数的图象， 其步骤是：先利用上述特征，由给定的幂指数作出幂函数在第一 冒敲黑板 象限的图象；再研究其定义域，看当x≤0时函数是否有意义；若 幂函数的性质 在（一○，0）上有意义，再研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函 1.所有的暴函数在(0， 数)图象的对称性，便可作出函数在y轴左边的图象，从而得到幂 十∞)上都有定义，并且图象 函数的图象，进而利用图象得到函数的有关性质。 都经过点(1,1). 知识点3幂函数的性质 2.如果>0，那么幂函数 五个常见幂函数的性质，列表如下： 的图象过原点，并且在区间 函数 y=r y=.r' y=r y=r-l y=rt [0,十∞)上为增函数.如果 a<0,那么幂函数的图象在区 间(0，十∞)上是减函数，在第 图象 O+ 一象限内，当，x从右边趋向于 原点时，图象在y轴右方无限 定义域 R R R {xx≠0 [0,+∞) 地通近y轴，当x从原点趋向 值域 R [0,+∞) R {yy≠0 [0,+∞) 于十o时，图象在x轴上方无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 限地逼近x轴， 3.当a为奇数时，暴函数 (-0,0)4 单调性 (-∞，04 为奇函数：当a为偶数时，暴 (0,十∞) (0,十∞)4 函数为偶函数。 定点 (1,1) 147 重随白手细高中数学必修第一册uA 雨难拓展 重难点1对幂函数的图象和性质的研究 幂函数y=x的图象. 1.当a=1时，y=x的图象是一条直线. 2.当a=0时，y=x°=1(x≠0)的图象是一条不包含点(0,1) 国敲黑板 的直线 幂函数奇偶性的判断：设 3.当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表. y=ra=色，p,q∈Z且不为 Q-2 a<0 0<a<1 o>I 0,p9不可约 ,q都是奇数 1.若p,q同时为奇数，则 y=x是奇函数 2.若9为奇数，p为偶 3V4 34 p为偶数， 数，则y=x是偶函数. q为奇数 -1o1 3.若q为偶数，则p为奇 数，此时y=x既不是奇函数 p为奇数， 也不是偶函数 q为偶数 01立 4.幂函数的图象一定会 在第一象限的 出现在第一象限内，一定不会 减函数 低头增 拾头增 图象特点 出现在第四象限内，至于是否 出现在第二、三象限内，要看 注：(Q=号p:9∈Z且不为0，pg不可约 函数的奇偶性：幂函数的图象 例①(2023·德州重点中学高一质检)给定一组函数解析 最多只能同时出现在两个象 式：①y=x:②y=x于：③y=x￥；④y=x于：⑤y=x2;⑥y= 限内：如果暴虽数的图象与坐 x:⑦y=x和一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在 标轴相交，则交点一定是原点 图象下面的括号内。 解析先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小； 若是负指数，再区分奇偶性，这样就可找到对应图象的函数观察 前三个图象，由于在第一象限内，函数值随x的增大而减小，则暴