3.2.2 奇偶性-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章函教的概念与性质么 3.2.2奇偶性 重点和难点 课标要求 1.理解函数奇偶性的概念 重点：奇偶性的概念 2.了解函数奇偶性的几何意义. 难点：奇偶性的判断及应用 3.掌握函数奇偶性的应用. 01必备知识梳理， 基础梳理 知识点1函数的奇偶性 四明概念 L,奇函数和偶函数的定义 如何理解函数的奇偶性？ 从函数奇偶性的定义可 偶函数 奇函数 以看出，具有奇偶性的函数有 以下特点： 一般地，如果对于函数f(x)的 一般地，如果对于函数f(x) L.定义域关于原点对称 定义 定义域内任意一个x,都有 的定义域内任意一个x,都 在偏西数和奇函数的定义中， f(-x)=f(x),那么函数f(x) 有f一x)=一f(x),那么函 若x是定义战中的一个数值， 就叫作偶函数 数f(.x)就叫作奇函数 则一x必然也在定义域中，也 定义域 就是说，一个函数无论是奇函 特征 关于原点对称 数还是偶函数，它的定义域一 定关于坐标原点对称，否则这 2.函数奇偶性的运算性质 个函数不满足奇函数或偶函数 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域 的条件，即这个函数既不是奇 上有下列结论： 函数也不是偶函数.例如f(x) =x在区间R上是偶函数， f(r) g(.x) f(x)十g(x) f(r)-g(z) f(r)g(r) 但在区间[-1,2]上却无奇偶 性可言 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 2.满足定义城关于原点 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 对称时，函数f(x)=0既是奇 f(r) g(z) f（x)+g(x) f(x)一g(x) f(x)g(r) 函数又是偶函数，因为既满足 f(-x)=f(x).又满足f(-x) 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 =-fx). 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 3.若奇函数在原点有定 义，则f(0)=0. 3.复合函数的奇偶性 4,函数按奇偶性分类：奇 复合函数F(x)=f(g(x))的奇偶性如下表： 函数（如y=x,y=x);偏函 133 国避食手细高中数学必修第一册尺A f(r) g(r) F(c) 数（如y=x):既是奇函数又 是偶函数（如f(x)=0,x∈ 偶函数 偶函数 偶函数 R):既不是奇函数又不是偶函 偶函数 奇函数 偶函数 数，即为非奇非偶函数（如y 奇函数 偶函数 偶函数 =2x+1). 奇函数 奇函数 奇函数 在f(g(x)中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 重难拓展 重难点1奇、偶函数图象的特征 D记方法过 1.奇函数的图象特征 判断函数奇偶性的基本方法 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中 (1)定义法：若函数的定 义战不关于原点对称，则可判 心的中心对称图形：反之，若一个函数的图象是以原点为对称中 断该函数既不是奇函数也不 心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 是偶函数：若函数的定义战关 2.偶函数的图象特征 于原点对称，再判断f(一x) 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称 是否等于士f八x). 轴的轴对称图形：反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个 (2)验证法：即在定义城 函数是偶函数. 关于原点对称的基础上，验证 3.奇、偶函数的单调性 f0-x)±fx)=0,2 f(x) 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论 士1是否成立，这是因为若 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函 f(-x)+f(x)=0,则f(-x) 数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为 =-f(x),所以f(x)为奇蓝 “奇同偶异” 数.其他的可类似推知， (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值 (3)图象法：奇（偶）函数 的充要条件是若它的图象关 取最值时的自变量互为相反数：奇函数在关于原点对称的区间上 于原点（或y轴）对称，则通过 的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数， 函数的图象可直观地看出函 4.函数图象的对称性 数的奇偶性 f(x)在定义域内恒满足的条件 f(x)的图象的对称轴（对称中心） (4)性质法：利用性质来 判断，即利用奇、偏函数的和、 f(ax)=f(a-x) 直线x=a 差、积，商的奇偶性，以及复合 轴 f(x)=f(a-x) 直线x=号 函数的奇偶性来判断。 f(a+r)=f(b-x) 直线x=4十 (5)判断f(x)不是奇函 2 数，只需在定义域内找出一个 f(a+r)+f(a-r)=0 点(a,0) 值xo,使f(一xa)十f(xo)≠0 即可，判断函数f(x)不是偶 心 f(a+r)+f(b-x)=0 点(.o) 函数，类似地，只需在定义城 内找出一个值x,使f（一x) f(a+x)+f(b-x)=