3.2.1 单调性与最大(小)值-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第三章函教的概念与性质么 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 重点和难点 课标要求 重点：函数的单调性。 1.理解函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义 难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数 2.理解函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义. 的定义判断函数的单调性 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1函数的单调性 1.增函数与减函数 罔敲黑板 对增函数与减函数 名称 增函数 诚函数 定义的理解 般地，设函数f(x)的定义域为 一般地，设函数f(x)的定义域为 1.“定义战I内某个区间 I,区间DC1: 1,区间DC1: D”即说明函数的单调区间是 如果Hx1,x2∈D,当1<x2时， 如果Hx1x2∈D,当x1<2时， 其定义域的子集 都有f(x)<f(x),那么就称函都有f(x)>f(x2),那么就称函 2.增、减西数定义中的 定义 数f(x)在区间D上单调递增. 数f(x)在区间D上单调递减. x,x有三个特征：一是任意 特别地，当函数f(x)在它的定义特别地，当函数f(x)在它的定义 性，即不能用特殊值代替，“任 域上单调递增时，我们就称它是 域上单调递减时，我们就称它是 意取1，”中的“任意”两字 增函数 减函数 绝不能丢掉：二是有大小，通 常规定<2；三是同属于一 y=x)/f) 、f》 图形 yfx》 个区间，三者缺一不可 表示 ) 7x) 3.自变量取值之间的不等 0名主 关系和函数值的不等关系正逆 几何 函数f(x)的图象在区间D上从 函数(x)的图象在区间D上从 互推，即若∫(x)是增（减）函 意义 左到右是上升的 左到右是下降的 数，则f(1)<f(2)台x1< x(x1>x2). 2.单调性与单调区间 4.若对于区间D内任意 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说 的x1,2(≠x),都有 函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y= fx)=fx)>0(或(x1 一xg f(x)的单调区间. x2)(f(x1)-f(x:)>0)成 3.单调区间的书写 立，则f(x)在D内单调递增 (1)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 这是因为当x1>x时， -x2>0,所以f(x1) “U”而应该用“和”或“，”来连接，如函数y=二在区间（一©©，0）和 f(x)>0,即f(x1)>f(x). 115 国雕点手细高中数学必修第-册尺A (0,十∞)上均为减函数，但不能说它在定义域（一∞，0）U(0, 类似地，若f）-fx)<0 十o∞)上是减函数. (或（知一x)(f代）一fm)0) (2)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的 成立，则f(x)在D内单调 规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写 递减。 成开区间也可以；若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区 已划重点 间.例如对于函数y=x,它的一个单调递减区间可以写成 对函数单调性的理解 （一，0).并且此区同又可以写成（一，0]：而对于函数y=之 1,单调性是与区间紧密 相关的概念，对于一个函数来 它的单调递减区间只能写成（一∞，0）和(0，十∞). 说，它在某个区间上可能有单 4.常见函数的单调性 调性，也可能没有单调性。例 如函效y=x十x,它在区间 函数 单调性 (一○，0]上没有单调性，而在 一次函数y=a.x十ba>0时，在R上单调递增： [0,十)上是单调递增函数. (a≠0) a<0时，在R上单调递减 同一个函数在某个区间 上可能单调递增，而在另外一 反比例函数y= a>0时，单调递减区间是（一∞，0）和(0，十c∞)： x 个区间上可能单调递减，例如 (a≠0) a<0时，单调递增区间是（一o,0)和(0，十o∞） 函数y=x,它在区间（一∞，0们 a>0时，单调递减区间是（一∞，m],单调递增区间 上是单调递减的，而在[0，十0) 二次函数y=a(.x 是[m,十o∞)： 上是单调递增的. m)2+n(a≠0) a<0时，单调递减区间是[m,十©)，单调递增区间 2.有的函数不具备单调 是（一oo,m] 1,x为有理数， 性.如函数y= 0,x为无理数， 对勾函数y=x十上 单调递减区间是(0，w灰)： 它的定义域为R,但它不具备 (k>0,x>0) 单调递增区间是(w下，十∞) 单调性：再如函数y=x十1， x∈Z,它的定义拔不是区间， 双曲函数y=T十 ax+b 有（一，一台），（一名+∞）两个单调区间，单调性 也不能说它在定义域上具有 (a≠0，b≠ad) 可借助图象判断 单调性， 知识点2函数的最值 P作比较 名称 定义 几何意义 函数的最值和值域的 联系与区别 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 1.联系：函数