3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册尺A 3.1.2 函数的表示法 重点和难点 课标要求 1.掌握函效的三种表示方法：解析法、列 重点：掌握函数的解析式与图象表示方法及数形结合的思想。 表法、图象法 难点：分段函数的概念及应用 2.理解分段函数的概念及应用 01必备知识梳理， 基础梳理 知识点1函数的三种表示方法 记方法 函数常用的三种表示方法为解析法、图象法、列表法 判断图象是否为函数的图象 1.解析法 根据函数的定义，若a在 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 函数的定义域中，则有唯一的 如圆的面积S是半径r的函数，可表示为S=π(r>0)或S= f(a)与之对应，即直线x=a f(r)=πr(r>0). 与f(x)的图象有唯一交点， 2.图象法 如图3.1.2-1(a):若a不在函 图象法，即用图象表示两个变量之间的对应关系.它是从形 数的定义域内，则没有交点， 的方面刻画了函数的关系. 如图3.1.2-1(b). 3.列表法 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.初 中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的方法.我们生活 中也经常遇到列表，比如列车时刻表、银行的利率表等.其优点是 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种 表示法常常被应用到实际生产和生活中， 三种表示方法的优缺点比较如下： 表示法 优点 缺点 是简明、全面地概括了变量问的 不够形象、直观、具体，而且 图3.1.2-1 关系： 解析法 并不是所有的函数都能用 图3.1.2-1(c)(d)不是函 二是可以通过解析式求出任意一个 解析式表示出来 自变量的值所对应的函数值 数的图象，因为它们不符合西 数的定义对于x的某些取 图象法 能形象、直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的 值所对应的函数值，而且有 值，y可能有多个数值和它对 情况 时误差较大 应，即x=a与f(x)的图象有 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变 当自变量的取值较多甚至 多个交点，这不符合函数的 量的值相对应的函数值 无限时，则无法表示 定义 104 第三童函教的概念与性质么鱼 雨难拓展 重难点1分段函数 1,分段函数的定义 目敲黑板 一般地，在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的 并不是所有函数都可以 函数通常叫作分段函数 用解析式表示，图象法也不适 2.对分段函数的理解 用于所有函数，如D(x)= (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数， 1,x∈Q, 列表法虽在理论 (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的. 0,x∈CRQ (1,-2≤x≤0， 上适用于所有函数，但对于自 例如y= 其“段”是不等长的。 x,0<x≤3， 变量有无数个取值的情况，列 (3)写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏， 表法只能表示函数的一个概 (4)处理分段函数的问题时，要先确定自变量的取值属于哪 况或片段 一段，然后选取相应的对应关系. (5)分段函数的定义域是各段定义域的并集：分段函数的值 域是分别求出各段上的值域后取并集：分段函数的最大（小）值是 分别在每段求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大 (小)值 3.分段函数常见的几种类型 (1)取整函数 如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数). (2)含绝对值符号的函数， |x十2，x≥-2， 如f(x)=|x十2= -(x十2)，x<-2. (3)自定义函数， -x-1,x≤-1， 如f(x) x2-x-2,-1<x≤2 x-2,x>2 3.x,-1≤x≤1 例①(1)已知函数f(x)= 则f(f(1)) x2-4x+6,1<x<5, (2)函数f(x)= x+2,x≤-1， 若f(x)=3,则x x2,-1<x<2. 解析(1).1∈[-1,1，.f(1)=3×1=3. 又.3∈(1,5)，∴.f(3)=32-4×3+6=3,即f(f(1)=3. (2)若x≤-1，由x十2=3得x=1>-1(舍去)： 若-1<x<2,由x2=3得x=士3， 105 国雕点手细高中数学必修第-册尺A 由于一√3<-1（舍去），故x=√3. 答案(1)3.(2)3. 重难点2求函数解析式的几种方法 1.代入法 已知f(.x)的解析式，求f(u(x)的解析式，常用代入法.如已 知f(x)=x2-1,求f(x+x2)时，有f(x十x2)=(x十x2)2-1. 2.配凑法 已知f(g(x)的解析式，要求f(x)的解析式时，可从f(g(x)) 的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示f(g(x),再将解析式 两边的g(x)用x代替即可.如f(√：一1)=x一2√元，可以将右边 凑成（√x一1）2-1的形式后再求解。 3.换元法 已知f(g(x))的解析式，要求f(x)的解