3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

3 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 重点和难点 课标要求 重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念， 1,理解函数的概念。 在此过程中培养学生的数学抽象素养 2,会求简单函数的定义域和值域， 难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函 3.了解区间的概念 数概念：理解函数的对应关系 01以备知识梳理一◆ 耳础梳理 图明概念 知识点1函数的概念 函数的定义 1.函数的定义 在函数的定义中，函数的 设A,B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x, 实质是从非空数集A到非空 按照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一一个确定的数 数集B的一个特殊的对应.A, B都是非空的数集，集合A为 y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个 自变量x的取值范围，集合B 函数，记作 中的元素可能是函数值，也可 y=f(x),x∈A. 能不是函数值，因此集合B不 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域：与 一定是值域若函数y=f(x)》 x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫 的值域为集合C,则C二B. 作函数的值域， 冒敲黑板 2.函数的本质含义 “f"的含义 定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应 对应关系「是函数的本 (1)特殊性：定义中的集合A,B必须是两个非空的数集， 质特征，它好比是计算机中的 (2)任意性：A中任意一个数都要考虑到. 某个“程序”.当在“()”的 (3)唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应 括号内输入一个值时，在此 “程序”作用下便可输出某个数 (4)方向性：A→B. 据，即函数值，如fx)=3x+5,f 知识点2函数的三要素 表示“自变量的3倍加上5”.如 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关 f(4)=3×4十5=17.需要注 系、值域。 意的是：这里的“x”既可以是 92 第三章函敬的概念与性质悦9 1.定义域 一个数，也可以是一个代数 函数的定义域就是自变量x的取值范围.有时函数的定义域 式，还可以是某个函数记号， 可以省略不写，如果未特殊说明，函数的定义域就是指能使表达 如f(x)=3r+5,则f(2x-1) 函数的式子各部分都有意义的所有实数x的集合.在实际问题 =3(2x一1)+5中的f表示 “(2x一1)的3倍加上5”， 中，必须考虑自变量x所代表的具体量的实际取值范围.如函数 f(g(x)=3g(x)+5中的f y一}的定义域为xx≠0，圆面积S与圆半径r间的函数关系 表示“g(x)的3倍加上5” 为S=π产，其定义域为{rr>0}. P防误区 2.对应关系 1.并不是所有函数的对 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作” 应法则“f(x)”都能用解析式 表示出来，如今天的某一时刻 的“程序”或“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x, 1对应的温度y是1的函数， 可在值域{yly=f(x),x∈A}中找到唯一的y与之对应.同一“f" 但其对应关系f(1)是无法用 可以“操作”不同形式的变量。 解析式表示出来的 3.值域 2.当a表示某个常数时， 对于定义域A内的函数y=f(x),其值域就是指集合{yy= 应特别注意f(x)与f(a)的区 f(x),x∈A} 别与联系：f(a)表示当x=a 知识点3函数相等 时函数f(x)的值，是一个常 量，而f(x)是自变量x的函 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称 数，在一般情况下，它是一个 这两个函数相等，即为同一函数， 变量.f(a)是f(.x)的一个特 因为定义域和对应关系相同决定了这两个函数的值域也相 同，所以判断两个函数是否相等时只需判断定义域和对应关系是 味值例知)备≠ 否相同即可. -10.当x=2时，f2)= 知识点4区间 冒敲黑板 设a,b∈R,且a<b. 区间的含义及表示 定义 名称 符号 数轴表示 区间是数轴上某一段的 所有点所对应的实数组成的 {xa≤x≤b 闭区间 [a,b] 实数集的另一种表示形式对 于区间的理解应注意： 1.区间的左端点必须小 rla<I<b) 开区间 (a,b) 于右端点，有时我们将b一@ 称为区间长度，对于只有一个 {xu≤x<b 半开半闭区间 [a,b) 。日6 元素的集合，我们仍然用集合 来表示，如{a. {xa<x≤b 半开半闭区间 (a,b] 一。6 2.注意开区间(a,b)与点 的坐标(4，b)在具体情境中的 {xx≥a 无穷区间 La,+oo) 区别. 3.用数轴来表示区间时， 93 国避食手细高中数学必修第一册R/a 续表 要特别注意实心点与空心图 定义 名称 符号 数轴表示 的区别. 4对于一