2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册尺A 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 重点和难点 课标要求 1.理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 重难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联 2.掌握一元二次不等式的解法， 系，借助二次函数求解一元二次不等式。 3.初步掌握一元二次不等式的应用。 ☑01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 国敲黑板 称为一元三次不等式.一元二次不等式的一般形式是a.x2十bx十c 对一元二次不等式概念的理解 >0(≥0)或a.x2+bx十c<0(≤0)，其中a≠0且a,b,c为常数 L.一元二次不等式中的 使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不 “一元”是指不等式中所要求 等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元 解的未知数，并且这个未知数 二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的 是唯一的.但这并不意味着不 等式中不能含有其他字母，若 不等式，叫作不等式的同解变形 含有其他字母时，则应把其他 知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系 字母看成常数 1.二次函数的零点 2.一元二次不等式中的 般地，对于二次函数y=a.x2十b.x十c,我们把使a.x2十bx十 “二次”是指所要求解的未知 c=0的实数x叫作二次函数y=a.zx2十b.x十c的零点.二次函数的 数的最高次数必须是2，且最 零点个数可以为2,1或0. 高次项的系数不为0. 2.三个“二次”之间的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表. A>0 4=0 △<0 同敲黑板 y=ar'+bx+c 1.从画鼓的观点来看，一 (a>0)的图象 元二次不等式a.x十bx十c>0 Or=工d (a>0)的解集，就是一元二次 有两个相等的实数 函数y=a.x2+hx十c(a>0)的 ax"+br+c=0 有两个不相等的实 b 没有实数根 图象在x轴上方部分的点的 (a>0)的根 数根，x(<x) 根x=x= 2a 横坐标x的集合：ax十br十 ax+bx+c>0 <0(a>0)的解集，就是一元 x,或x>》 R (a>0)的解集 x≠-a 二次函数y=ax2+br十c(a> 70 第二童一元二次函教、方程和不等式么 续表 0)的图象在x轴下方部分的 4>0 △=0 △<0 点的横坐标x的集合 ax2+bx+c<0 2.从方程的观点来看，一 <x< 0 0 (a>0)的解集 元二次方程的根是一元二次 函数的图象与x轴交点的横 重难拓展 坐标，一元二次不等式a.x十 重难点1分式不等式与高次不等式的解法 bx十c>0(a>0)的解集就是 1,分式不等式的解法 大于大根或者小于小根的实数 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式. 的集合：a2十r十c<0(a>0) 的解集就是大于小根，且小于 设A,B均为含x的多项式 大根的实数的集合。 a哈>0eAB>0. (2)A<0=AB<0. B 因此，利用一元二次西数 的图象和一元二次方程的两个 AB≥0. AB≤0， 根就可以解一元二次不等式。 B≠0. B≠0. 3.三个“二次”的关系如 2.高次不等式的解法 图2.3-1： 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于 二次函数 2,一般使用“穿针引线法”，具体思路如下： (1)标准化.通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未 程的根 知数的整式，右侧化为0的形式， 一元二次根的讨论 一元二次 (2)分解因式.将标准化的不等式的左侧化为若干个因式（一 方程 泉解集 不等式 次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x一1)(x一x2)(x一x.)> 图2.3-1 0的形式，其中各因式中未知数的系数为正 (3)求根.求(x一x)(x一x2)…(x一xn)=0的根，并在数轴 上表示出来（按从小到大的顺序标出）. (4)穿线.从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要 注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时 应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧. (5)得解集.若不等式（未知数的系数均为正）是“>0”，则找 “线”在数轴上方的区间：若不等式（未知数的系数均为正）是“< 0”,则找“线”在数轴下方的区间. 例口1D不等式千子0的解集是 ②)不等式子≥2”D的解集是 5.x 物（①不等式有0等价于（一2x十40<0，解得-4 71 国避食手细高中数学必修第一册RA <x<2,即解集为{x一4<x<2}. (2)将原不等式移项、通分、整理化简为 0,中 5r+x+4-5e++80, .原不等式等价于(x十1)(x一1)<0，易知一1<x<1. 故原不等式的解集是{x一1<x<1. 答秦(1){x-4<