2.2 基本不等式-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第二童一元二次函教、方程和不等式收 2.2基本不等式 重点和难点 课标要求 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释 1.理解基本不等式 用基本不等式解决简单的最值问题 2.能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决 3.能利用基本不等式解简单的应用问题. 简单的最值问题. 01必备知识梳理 基础梳理 知识点1基本不等式 国敲黑板 L.重要不等式 1.基本不等式成立的条 对于任意实数a,b,有+≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立. 件是a>0,b>0. 证明(a-b)≥0台a2+b-2ab≥0台a2+b≥2ab,当且仅 (1)若a0b0.如a=-2. 当a=b时，等号成立. 6=-4,会出现-2》一≥ 2 知识剖析(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等 √（一2）×（一4D的错误结论 式中a,b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式。 (2)若a,b中有一个小于0. (2)不等式a+≥2ab可以变形为ah<“步，4ab≤d+ 如a=2,b=-4,则√2X(一4) b+2ab,2(a2+b)≥(a+b)2等形式. 无意义 (3)若a或b等于0，虽然 2.基本不等式 该不等式也成立，但在基本不 如果a>0.>0,那么a7 当且仅当a=b时，等号成立 等式中一般不研究这种情况. 2.基本不等式的常见变 其中，士叫作正数a,b的算术平均数Vab叫作正数a,b的 形形式：a十b≥2Vab,ab≤ 儿何平均数， 安 因此，基本不等式也可以叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数 知识点2最值定理 冒敲黑板 设a,b均为正数. 利用基本不等式求最值 1.若a十b为定值S,则当a=b时，积ab取最大值9 需注意的问题 1.利用基本不等式求最 2.若ab为定值G,则当a=b时，和a十b取最小值2G 值要牢记三个关键词：一正、 二定、三相等。 证明“a>0,6>0,“士>ad (1)一正：各项必须为正 61 国雕食手细高中数学必修第一册RA 1.当a+b=S时，有>.即ab<子，当且仅当a=b时， (2)二定：各项之和或各 项之积为定值 等号成立. (3)三相等：必须验证取 2.当ab=G时，有空G,故a+b≥2vG,当且仅当a=6 等号时条件是否具备， 2,应用基本不等式求最 时，等号成立 值的关键：根据定值去探求最 最值定理可简记为： 值，在探求的过程中常需依照 具体的问题进行合理的拆、 和定积最大，积定和最小 凑、配等变换， 重难拓展 重难点1基本不等式的变式与拓展 冒敲黑板 基本不等式链 对基本不等式链的理解与拓展 (1)基本不等式链的内涵 若>0.6>0，则上子≤历<安岁<、 a+b 丰富，在实际的运用中相对于 2 ,当且仅当 基本不等式更为广泛，但它们 都是在基本不等式的基础上 a=b时等号成立.其中 2,叫作a,b的调和平均数 111 G+E叫 拓展而来的，也都可以由基本 2 不等式（或重要不等式）加以 证明， 作a,b的平方平均数， (2)一般来说，以下四组 其几何意义如图2.2-1所示. 不等式可以作为基本不等式 的应用形态： 形解密 ①+>u>0, v√ab b>0): OD=(0F-a+地 @+>a>0 a CD-fub b>0): ③u+b)(日+古)≥4 (ab0): 图2.2-1 例0若a>0,>0求证：≤< 2 a2+ b∈R). a b (3)不等式链包含六个不 1+1 等式(a>0,b>0): 正南1由>0,6>0，得2· 2 b√a6' ①1女<va 六1工≤va,当且仅当a=b时，等号成立 2 人 a+6 (2②)<光，当且仅当a=b时，等号成立，已运， 14≤N2 62 第二童一元二次函教、方程和不等式收组 (3) a十ba十b 2 2 ①va生中 a+6 a2+ /(a+b)2 ⑤≤√2 =N2 4 a+0 a2+a++ a十b+2ab 4 4 以上六个不等式中的等 号，都是当且仅当a=b时取得 ,a2十b≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， 实际应用中，可根据题设 条件和所求，选择性地应用上 迷不等式 @于史，当且仅当a=6时，等号成立 2 卫拓视野 基本不等式的拓展 综上， (1)三元基本不等式 11 a2++2≥3abc→ 例2已知函数y=√一3.x+12+√3.x,则该函数的最大值为 a≤(et abc<atlte 3 百演选择不等式链中的<号产，将√一3十2看作 atbtc/abe, 3 2 其中a,b,c都大于0. a,将√3z看作b,很显然可得a+b=12为定值. 当且仅当a=b=c时，等 号成立 解析]√一3z+12+√3 2 (2)推广到n元的基本不 等式为 (-3.x+12)2+(3.x)2 a1十a