第08讲 二次函数的应用-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第08讲 二次函数的应用 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题． 5. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题． 6. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围． 7. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 8. 能运用二次函数的图象与性质进行决策． 1．求二次函数的最大（或最小）值 问题1 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值由什么决定？ 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值由a及自变量的取值范围决定． 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值是多少？ 问题3 当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值如何确定？ 当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的最值可以根据以下步骤来确定： 1）配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴． 2）画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围． 3）判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值． 2．二次函数与几何图形面积的最值 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围．能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值． 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1）求出函数解析式和自变量的取值范围； 2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值， 3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内． 1．列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 2．实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 3．利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 4. 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 考点一：图形周长与面积问题 例1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（    ）米． A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练】 1．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．如图，某跑道的周长为且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道段的长应为______． 3．某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．    (1)分别写出与x的函数关系式； (2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由． 考点二：图形运动问题 例2．如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图所示，中，