第06讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第06讲 y=ax2+bx+c的图象与性质 1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a（x－h）2＋k，从而确定顶点坐标、对称轴． 2.掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k （a ≠0）的图象的性质并会应用． 3.会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象． 4. 掌握二次函数字母系数与图象的关系． 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【问题1】画出函数y＝－x2＋ x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质． 通过配方可得：y＝－（x－1）2－2 ， 先列表： 然后描点、连线，得到图象如下图． 由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2. 将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y＝a（x－h）2＋k 我们如何用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成顶点式y＝a（x－h）2＋k？ 因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的顶点坐标是：，对称轴是：直线 如果a＞0，当 时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 当时，y取最小值． 如果a＜0，当 时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当时，y取最大值． 2.二次函数字母系数与图象的关系 ①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 ②对称轴可确定b的符号： 对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜0 ③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 其他辅助判定条件： ④顶点坐标 ⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x＝ ⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定． 考点一：二次函数的y＝ax2＋bx＋c顶点、对称轴问题 例1．下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若抛物线的顶点在y轴上，则a的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 2．二次函数图象的对称轴为_____． 3．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 考点二：二次函数的图象变换问题 例2．已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后图象经过原点，则的值是（    ） A．5或 B． C．5 D．2 【变式训练】 1．若方程的两个根是和1，那么二次函数的图像向下平移3个单位，再向左平移2个单位，平移后新抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 _____． 3．已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)若将点向左平移m个单位，或向右平移个单位，都能与该二次函数图象上的点重合，求m，n的值． 考点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性问题 例3．二次函数，当自变量时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 3．画出一元二次函数的图象．求开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，与轴交点坐标，与轴交点坐标，以及取哪些值时，随的增大而增大；取哪些值时，随的增大而减小． 考点四：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值问题 例4．已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（    ） A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7 【变式训练】 1．已知二次函数，当时，y的最小值为（    ） A． B． C． D．7 2．把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取得最小值，则此时 ______ ． 3．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线解析式及对称轴． (2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围． 考点五：二次函数的对称性及运用 例5．若抛物线的对称轴是直线，且经过点，则使函数值成立的x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式训练】 1．已知二次函数的图像如图所示，下列四个命题：①；②；③若，是该抛物线上的两点，则；④若，是该抛物线上的两点，则；其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若二次函数在或时，函数值相等，