专题01 相似三角形的判定与性质重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 相似三角形的判定与性质重难点题型专训 【题型目录】 题型一 相似三角形的判定条件 题型二 格点中的相似三角形 题型三 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系 题型四 相似三角形中的多结论问题 题型五 相似三角形与动点问题综合 题型六 相似三角形中的最值问题 题型七 相似三角形中的旋转问题 题型八 利用相似三角形的性质求角度 题型九 利用相似三角形的性质求线段长 题型十 利用相似三角形的性质求面积 题型十一 新定义中的相似三角形 题型十二 相似与函数综合探究 【知识梳理】 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 相似三角形的判定条件】 【例1】（2023·上海·九年级假期作业）根据下列条件，能判定和相似的个数是（　　） （1），，，； （2），，，，，； （3），，，，，； （4），，，，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（    ） A． B．平分 C． D． 2．（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是_______．(填序号) 3．（2023·上海·九年级假期作业）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， (1)求证： (2)求证： 【经典例题二 格点中的相似三角形】 【例2】（2022秋·九年级单元测试）如图，已知每个小正方形的边长均为1，与的顶点都在小正方形的顶点上，那么与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 2．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是_____． 3．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上． (1)在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上； (2)在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上； (3)连接BD交AC于点O，连出△OCE和△CHD，并证明△CHD∽△OCE． 【经典例题三 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 【例3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【变式训练】 1．（2023·上海·九年级假期作业）如图，点G是的重心，四边形与面积的比值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是______．    3．（2023·全国·九年级专题练习）在中，已知D是边的中点，G是的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． (1)如图1