第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（人教版）

第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算 【人教版】 ·模块一 求角度和线段的长度 ·模块二 角度和线段之间关系的证明 ·模块三 线段位置关系 ·模块四 课后作业 模块一 求角度和线段的长度 【例1】如图，，，，求的长.    【例2】如图，C为上一点．点A，D分别在两侧．，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【例3】如图，在中，平分，，延长到点E，使得，连结，．      (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，，，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风等的骨架图如图2所示，已知，，，求的大小． 【变式3】已知：如图，在中，E是的中点，点F在上，，交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 模块二 角度和线段之间关系的证明 【例1】如图，在四边形中，于，交的延长线于点，，．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．    【例2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由． 【例3】在中，，点D是线段上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时，那么的度数为多少度． (2)设．如图2，当点D在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是 ___________．（直接写出结果） 【变式1】如图，中，，平分，过点作于点，在上取． (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】如图，已知．写出之间的数量关系，并予以证明． 【变式3】已知，如图，和，，，，． (1)求证：； (2)试求、之间的数量关系和位置关系． 模块三 线段位置关系 【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点． (1)如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF； (2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由． 【例2】如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接并延长交于点． (1)求证:； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【例3】如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由． 【变式1】如图，点、、、在一条直线上，，，，请写出与之间的位置关系，并证明你的结论． 【变式2】如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE． (1)求证AE=DF； (2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，C是线段上一点，与均为等腰直角三角形，连接，，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 模块四 课后作业 1．如图，，交于点，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F，若，则线段的长度为________．    4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，这两个滑梯与地面夹角中，则_______． 5．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．如图，已知与相交于点E，，点E为中点，若，求的长度． 7．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AE＝AD，AE⊥AD，B、C、E三点在同一条直线上． （1）求证：△ABE≌△ACD． （2）探究DC与BE之间的位置关系，并说明理由． 8．如图，，，，，直线与相交于点，与相交于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 9．按要求画图，并解答问题 （1）如图，取BC边的中点D，画射线AD； （2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F； （3）BE和CF的位置关系是　 　；通过度量猜想BE和CF的数量关系是　 　． 10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为一边的等边三角形． （1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC； （2）如图①，探究BE和AC的位置关系，并说明理由． （3）如图②，当点D在BC的延长线上时，（2）中结论还成立吗？说明理由． 11．已知、是的高，点P在的延长线上，，点Q在上，．判断线段和的关系，并证明． 12．在四边形中，，点