2.4 线段、角的对称性（一～二）-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

2.4线段、角的对称性（一~二） 【推本溯源】 1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O， 把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。 几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分线 ∴∠1=∠2=90°，OA=OB 因此，线段是 图形； 它得对称轴是 和 。 2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．科网ZXXK] 因此线段垂直平分线的性质定理 几何语言： 3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB， 那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？ 因此线段垂直平分线的判定定理是 几何语言： 4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。 5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？ 作法： 1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。 2.过C、D两点作直线。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？ 【解惑】 例1：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例2：如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分． 例3：如图：在中，点是的中点，点，分别在，边上，且． (1)猜想： （填上“”、“”或“”）； (2)证明你的猜想． 例4：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 例5：已知：两条相交公路与形成的区域内部有两个居民小区，可近似的看作点D与点E．为了给居民提供便利，社区要在内部区域内选择一处地址修建快递柜，使选址点P到两个居民区和两条公路距离均相等．请用尺规作图法作出点P的位图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【摩拳擦掌】 1．（2023春·广东河源·八年级校联考期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（    ） A．中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．角平分线的交点 D．高线的交点 2．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，在中，，点D为上一点．甲、乙两人按图中的作法，都得到了全等．下列判断错误的是（        ）    A． 甲通过作的垂直平分线得到点P、Q B． 乙通过过点D作的平行线得到点P、Q C． 甲证明全等的依据是 D． 乙证明全等的依据是 3.（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为（    ） A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm 4．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）如图，中，是的垂直平分线，cm，的周长为13cm，的周长为______cm． 5．（2021春·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为______． 6．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______． 7．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 8．（2023·广东汕头·校联考一模）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点P，交于点Q．（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，，，求的周长． 9．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【知不足】 1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有① 2．（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已