2.4 线段、角的对称性（三～四）-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

2.4线段、角的对称性（三~四） 【推本溯源】 1.如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折， 因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。 因此， 角是 图形， 是它的对称轴. 2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 ． 几何语言： 3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的 上。 几何语言： 4.已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM． （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M （3） 作射线OM。 5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？ 6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？ 【解惑】 例1：如图，交延长线于，于，，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的数量关系． 例2：如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为__________．    例3：如图中，平分，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 例4：小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． B．角平分线上的点到角两边的距离相等． C．三角形三个内角的平分线交于同一个点． D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等． 例5：如图，是内一点，点到三边的距离相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【摩拳擦掌】 1.点在内，且到三边的距离相等．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到边、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（    ） A．    B．   C．    D．   3.如图，P是内一点，点P到三边，，的距离，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4.如图，在中，是的平分线，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，若，则的长为________．    5.如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于_______． 6.如图，在中，，，的面积为24，依据尺规作图的痕迹判断，的长为______． 7.如图，已知．    (1)求作边上高，交于点； (2)求作的平分线，交于点； (3)若，，求的度数． 8.使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)在上找一点，使得到和的距离相等； (2)在射线上找一点，使得． 9.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)画出中边上的高线． (2)用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (3)求的面积． 【知不足】 1.如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2.如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（    ） A．65° B．80° C．100° D．70° 3.如图，在中，，平分交于于点D．   （1）若，，则点D到的距离是_______． （2）若，点D到的距离为6，则的长为________． 4.如图，已知的周长是32，，分别平分和，于点，且，则的面积是____________.    5.如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________． 6.如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数． 7.如图，是的中线，请用尺规作图法在上找一点P，使得点P到线段、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    8.如图，已知线段MN和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹） 9.如图，在四边形中，，，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)    结论： 10.作图题