第09讲 函数的概念及其表示-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第9讲 函数的概念及其表示 1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素； 2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域； 3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法； 4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数； 5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。 一、函数的定义及概念概念 1、函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、函数的三要素的理解 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对 “”施加的某种运算或法则。 例如：，就是对自变量求平方。 （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。 4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 三、求函数的定义域的依据 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。 四、函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 五、分段函数 1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏； （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。 六、函数解析式的求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 考点一：对函数概念的理解 例1．下列变量间为函数关系的是（ ） A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程 B．某地蔬