第06讲不等式的求解（4种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第06讲不等式的求解（4种题型） 【知识梳理】 一．其他不等式的解法 不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例： ①一元一次不等式ax＞b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ． （3）无理不等式：转化为有理不等式求解． 二．一元二次不等式及其应用 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 【特征】 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 【实例解析】 例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为． 解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0 所以，﹣2＜x＜3 故答案为：（﹣2，3）． 这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解． 【一元二次不等式的常见应用类型】 ①一元二次不等式恒成立问题： 一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0． ②分式不等式问题： ＞0⇔f（x）•g（x）＞0； ＜0⇔f（x）•g（x）＜0； ≥0⇔； ≤0⇔． 三．一元二次方程的根的分布与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 【例题解析】 例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方． 解：方程x2﹣3x+1＝0中， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 设方程两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2， ∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1， 则所求方程为x2﹣7x+1＝0． 这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）． 【考点分析】 首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳． 四．绝对值不等式 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅ |x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解． 2．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥