第05讲等式与不等式的性质（3种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第05讲等式与不等式的性质（3种题型） 【知识梳理】 一．等式与不等式的性质 1．不等式的基本性质 （1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立： ①a＞b⇔a﹣b＞0； ②a＜b⇔a﹣b＜0； ③a＝b⇔a﹣b＝0． （2）不等式的基本性质 ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； ③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c． ④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d； ⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； ⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）； ⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）． 二．不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式． 【不等式定理】 ①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 【例题讲解】 例1：解不等式：sinx≥． 解：∵sinx≥， ∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）， ∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解． 例2：当ab＞0时，a＞b⇔． 证明：由ab＞0，知＞0． 又∵a＞b，∴a＞b，即； 若，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 三、一元二次方程的根的分布与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 【例题解析】 例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方． 解：方程x2﹣3x+1＝0中， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 设方程两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2， ∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1， 则所求方程为x2﹣7x+1＝0． 这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）． 【考点分析】 首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳． 【考点剖析】 一．等式与不等式的性质（共7小题） 1．（2022秋•普陀区校级期末）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c| 2．（2022秋•徐汇区期末）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．﹣ B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ab＞b2 3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知a＞b＞c＞0，以下不等关系不一定成立的是（　　） A．ac3＞bc3 B．ca+b＞cb+c C．lg（a﹣b）＜lg（a﹣c） D．＞ 4．（2022秋•闵行区校级期末）已知实数a＞b，则下列结论正确的是（　　） A． B．a2＞b2 C． D．2a＞2b 5．（2022秋•崇明区期末）已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B．|a|＜|b| C．a2＜﹣ab D． 6．（2022秋•浦东新区期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 　 　． ①如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d； ②如果a≠b，且c≠d，那么ac≠bd； ③如