第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第15讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图像 掌握二次函数的概念 需学会判断一个函数是否是二次函数 重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域． 理解特殊二次函数的图像，会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备． 模块一：二次函数的概念 1、 二次函数 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定． 【例1】 判断下列函数是否是二次函数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【例2】 下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次 项、一次项系数及常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 【例3】 如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为xx x 6 8 厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________． 【例4】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x ()，6 月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析． 【例5】 如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、PB 为边作等边和等边．设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域．A B C D P H A B C D P 模块二：二次函数y = ax2的图像 1、 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2、 二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 【例6】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像； （2）函数、、的图像与函数、、 的图像有何异同？ 【例7】 已知点P（，6）在抛物线上，那么a的值为______． 【例8】 抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标． 【例9】 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米 到达警戒线CD，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式； （2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才 能达到拱桥顶？x y A B C D O 一、单选题 1. （2021秋·上海金山·九年级期末）下列各点在抛物线上的是（      ） A． B． C． D． 2. （2022春·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）下列函数中，满足 y 的值随 x 的值增大而减少的是（   ） A．y 2x B．y （x>0） C．y 2x 3 D．y x2 3. （2022秋·九年级单元测试）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4. （2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5. （2023·上海杨浦·统考一模）下列函数中，二次函数是（　　） A． B． C． D． 6. （2022秋·上海普陀·九年级统考期中）已知抛物线的开口向上，那么a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 7. （2023·上海浦东新·上海市建平实验中学校考一模）下列函数中，二次函数是（    ） A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3） C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝ 8. （2022·九年级单元测试）在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是(   ) A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 二、填空