第二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）-2023年初高中数学衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 【知识点一】 分式的相关知识 1．分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 2．繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【知识点精讲】 【例1】若，求常数的值． 【变式1】（2022·四川·九年级专题检测）已知实数x、y满足，求代数式的值． 【例2】（2022·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式： ①；        ②； ③；        ④… （1）请用以上规律计算：__________； （2）若，求的值． 【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 【变式2】（2022·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①，②，③，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下： 由①得：，解是x=1或x=2; 由②得：，解是x=2或x=3; 由③得：，解是x=3或x=4. 请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题： （1）第④个方程是 ，解是： ； （2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ； （3）若n为正整数，求关于x的方程的解． 【例3】（（2022·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①；②；③； 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第个不等式：___________； （2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较和的大小． 【例4】（（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【知识点二】根式类问题 一、基本知识 一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下： (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义 二、拓展知识 2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. 2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 【知识点精讲】 【例5】将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（2022·重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】化简下列各式： (1) (2) 【例6】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：＝＝＝ 方法二：＝＝＝＝ （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 【变式1】化简：． 【变式2】 （2022·湖南衡阳·九年级）满足不等式的整数m的个数是_____． 【变式3】（2022·江苏·八年级专题练习）观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___． 【例7】（2021·全国·九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【变式1】先阅读然后解答问题：化简 解：原式＝ 根据上面所得到的启迪，完成下面的问题： （1）化简：（2）化简：． 【变式2】化简：（1）； （2）． 【例 8】已知，求的值 ． 　 【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）（解析版） 【知识点透析】 【知识点一】 分式的相关知识 1．分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列