专题06 利用导数研究函数的零点、隐零点问题（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题06 利用导数研究函数的零点、隐零点问题 知识归纳 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 隐零点 若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点. 1、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有： ①关系式成立；②注意确定的合适范围. 2、含参函数的隐零点问题 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. “隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键； 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 题型归纳 题型一　判断函数零点个数 题型二　证明函数零点个数问题 题型三　根据函数零点个数确定参数范围 考点四 与零点有关的不等式问题 题型五 导数中的隐零点问题 题型分类 题型一　判断函数零点个数 例1：已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 例2：设a为实数,函数． (1)当时,求函数的单调区间； (2)判断函数零点的个数． 例3：已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求切线的方程； (2)判断在上零点的个数，并说明理由. 【方法小结】 1、判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 2、处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 题型二　证明函数零点个数问题 例4：已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)若，证明：在区间内有唯一的零点． 例5：已知函数，. (1)当函数与函数图像的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合； (2)证明：当时，函数有两个零点. 例6：已知函数. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 题型三　根据函数零点个数确定参数范围 例7：已知函数． （1）当时,求的最大值； （2）若恰有一个零点,求a的取值范围． 例8：已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若有两个零点，求的取值范围． 例9：已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 例10：已知函数在处取得极值7. (1)求的值； (2)求函数的单调性及极值；