2.2-基本不等式（含pdf版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教A版2019）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ❊2.2 基本不等式 考点先知 知 识 考 点 基本不等式 1.基本不等式 2.利用基本不等式求最值 题型精析 知识点一 基本不等式 不等式 条件 取等号的条件 重要不等式 abba 222  Rba  、 当且仅当 ba  时取等号 基本不等式 ba ba   2 0ba  ，0 当且仅当 ba  时取等号 使用基本不等式 baba  2 需注意“一正二定三相等”，即： 1. ba、 均大于 0； 2.①若 )( 为定值PPxy  ，则当 yx  时，则 yx  有最小值 P2 ； ②若 )( 为定值SSyx  ，则当 yx  时，则 yx 有最大值 2 4 1 S ； 3.注意等号成立的条件是否满足. 题型一 基本不等式 例 判断正误，若不正确，请说明理由： （1）因为 ba、 为正实数，所以 22  b a a b b a a b ：_________________. （2） 0a ，所以 4424  a a a a ：_________________. （3） Ra ，则 21  a a ：_________________. （4）因为 Ryx 、 ， 0xy  ，所以 2 2x y x y x y y x y x y x                                    ：_________________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 例 2 下列不等式恒成立的是（ ） A． 2 2 2a b ab  B． 2 2 2a b ab   C． 2a b ab   D． 2a b ab  变 1 下列不等式一定成立的是（ ） A． 13 6 2 x x   B． 2 2 13 6 2 x x   C．     2 2 13 1 6 2 1 x x     D．     2 2 13 1 6 2 1 x x     变 2 若 ,a bR ，且 0ab  ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． 2 2 2a b ab  B． 2a b ab  C． abba 2 D． 2 b a a b   知识点二 常用结论 内容 结论 1 若 0x ，则 2 1  x x （当且仅当 1x 时取“=”） 结论 2 若 0x ，则 2 1  x x （当且仅当 1x 时取“=”） 结论 3 若 0ab ，则 2 a b b a （当且仅当 ba  时取“=”） 结论 4 若 Rba ， ，则 2 ) 2 ( 22 2 babaab  （当且仅当 ba  时取“=”） 结论 5 若  Rba， ，则 2211 2 22 babaab ba      （当且仅当 ba  时取“=”） [调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数] 知识点三 柯西不等式 内容 柯西不等式 若 Rdcba ，，， ，则 22222 )())(( bdacdcba  （当且仅当 d b c a  ，即 bcad  时 取等号）. 柯西不等式的 变形 （1） 2)())(( bdacdcba  （ 0dcba ，，， ，当且仅当 d b c a  ，即 bcad  时 取等号）； （2） bdacdcba  2222 ，（ Rdcba ，，， ，当且仅当 d b c a  ，即 bcad  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 时取等号）； （3） bdacdcba  2222 （ Rdcba ，，， ，当且仅当 d b c a  ，即 bcad  时取等号）. 题型二 利用基本不等式求最值 类型一 直接利用基本不等式求最值 例 1 若正实数 x，y满足 2x+y=1.则 xy的最大值为（ ） A． 4 1 B． 8 1 C． 9 1 D． 16 1 变 1 已知 x＞0，y＞0，且 x+2y=2，则 xy（ ） A．有最大值为 1 B．有最小值为 1 C．有最大值为 1 2 D．有最小值为 1 2 例 2 若 00  yx ， ， 10xy ，则 yx 52  的最小值为______． 变 2 已知 yx， 为正实数，且 4xy ，则 yx 4 的最小值是______． 类型二 拼凑法求最值 例 1 若 3 10  x ，则 )31( xx  取最大值时 x的值是______，最大值为___