1.3 探索三角形全等的条件（七～八）-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

1.3探索三角形全等的条件（七~八） 【推本溯源】 1.角平分线的画法： 如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？ 那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？ 作法： （1） 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D； （2） 分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M； （3） 作射线OM。 OM是∠ABC的角平分线。 2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E， 证：PQ⊥CD 由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？ 作法： （1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D； （2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q； （3）作直线PQ。 直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。 3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法： （1）作∠PCQ=90°； （2）在射线CP上截取CB=a； （3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A； （4）连接AB。 Rt▲ABC就是所求作的三角形。 看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？ 4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′ 证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′； 然后运用AAS证全等即可。 通过自己实践后发现： （简写成“ ”或“ ” ） 几何语言： 在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90° ∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL） 【解惑】 例1：王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（　　） A．； B．； C．； D．； 例2：如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度． 例3：下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P ． 求作：直线l的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2， ① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点； ② 连接PA和PB； ③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q． ④ 作直线PQ ． ∴ 直线PQ就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵ PQ平分∠APB， ∴ ∠APQ=∠QPB． 又∵ PA= ，PQ=PQ， ∴ △APQ≌△BPQ（                  ）（填推理依据）． ∴ ∠PQA=∠PQB（                         ）（填推理依据）． 又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°， ∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°． ∴ PQ ⊥ l ． 例4：如图，在8×6的方格纸中有线段AD，其中A，D在格点上，请分别按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一个即可．） （1）在图1中，作△ABC，使AD为△ABC的中线，点B，C在格点上． （2）在图2中，作△ABC，使AD为△ABC的高线，点B，C在格点上． 例5：如图，四边形中，，，，，与相交于点F． (1)求证： (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【摩拳擦掌】 1．（2022·四川广元·统考一模）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 2．（2022秋·天津·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； （2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS