1.2空间向量基本定理（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.2空间向量基本定理 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 2 自学与预习基础检测 2 考点剖析 2 考点一：空间的基底 2 考点二：空间向量基本定理 3 课堂练习 4 1、掌握空间向量基本定理. 2、会用空间向量基本定理对向量进行分解 3、会用基底法表示空间向量. 4、初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 概念一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 概念二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 概念三、证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 概念四、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 概念五、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 1.零向量能否作为基向量？ 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面 2.基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 3.用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 4.证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 5.求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 判断对错： 1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(　 　) 2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　 　) 3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　 　) 4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　 　) 5．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是＝.(　 　) 6．若＝，则A，B，C，D四点共线．(　 　) 7．已知两个向量 ， 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.(　 　) 8．如果＝＋，则四点O，P，M，N一定共面．(　 　) 1.．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A．          B．          C．          D． 2.（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；( ) 3.（2021·全国·高二课时练习）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( ) 4．（2021·全国·高二课时练习）如果向量与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线．( ) 5.（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 1.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 2.（2022·安徽·六安一中东校区高二开学考试）如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（