第04讲 空间的平行直线（3种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第04讲 空间的平行直线（3种题型） 【知识梳理】 一、公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行；⇒a∥c； 二、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2、如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； 【考点剖析】 题型一：公理4 例1.如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由． 【变式1】设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 上述命题中错误的是 （写出所有错误命题的序号） 【变式2】已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.则四边形EFGH的形状是 【变式3】（2021·上海市控江中学高二期中）空间四边形中，､､､分别是､､､的中点，且，则四边形的形状是___________. 【变式4】在四面体中，、分别是、的重心，连接、分别延长并交、于点、，则、、、中，与平行的直线的条数是（ 　　 ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型二：等角定理及其推论 例2.（2022·全国·高一专题练习）若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1，方向可能不同 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 【变式1】已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于（ ） A．30°　　 B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 【变式2】已知a，b，c是空间中的三条直线，a∥b，且a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为   【变式3】（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，则∠A1O1B1=_______________ 【变式4】（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）设与的两边分别平行，若，则___________. 【变式5】（2021·全国·高一课时练习）如果，，那么与之间具有什么关系？ 题型三：公理4、等角定理及其推论的综合应用 例3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． （1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【变式1】下列命题中，错误的命题的序号是： ①.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 ②.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 ③.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 ④.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【变式2】（2021·广东·忠信中学高一阶段练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 【变式3】（2021·全国·高一课时练习）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点， 求证：(1) ； (2)∠EA1F＝∠E1CF1. 【过关检测】 一、概念填空 1．（2022·高一课时练习）（1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________． （2）等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________ 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 [微思考]如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ ______________ 二、单选题 2．（2023春·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 3．（2023·上海·高二专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 4．（2