4.2.1 指数函数的概念-(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念 [课标要求]1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.2.理解指数函数的概念. [核心素养]1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念,提升数学抽象素养.2.能从教材实例中体会指数型函数模型 在实际问题中的应用,提升数学建模素养. 1.指数函数的概念 一般地,函数 叫做指数函数, 其中指数x 是自变量,定义域是R. 　　 指数函数和幂函数的区别:两者虽然都是幂的形 式,但不同之处在于指数函数的自变量在指数上,而 幂函数的自变量在底数上. 2.两类指数模型 (1)y=kax(k >0,a >0且a ≠1),当 时为指数增长型函数模型. (2)y=kax(k >0,a >0且a ≠1),当 时为指数衰减型函数模型. 1.指数函数的解析式有什么特征? 2.指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1? 3.设原有量为N,每次的增长率为p,经过x 次 增长,该量增长到y,则x,y 之间满足的关系 式是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数函数的概念 [例1] (1)若函数y=(a-2)ax 是指数函 数,则 ( ) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1 (2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x 为指数函数,则a= . 学生试答: 　　 已知某函数是指数函数求参数值的步骤 (1)依据指数函数形式列方程：令底数大于0且 不等于1，系数等于1，列出不等式与方程. (2)求参数值：解不等式与方程求出参数的值. 变式训练1 (1)函数f(x)=(2a-3)ax 是指数函数,则f(1)等于 ( ) A.8 B.32 C.4 D.2 (2)给出下列函数: ①y =4x;②y =x4;③y =-4x;④y = (-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x 2;⑦y=xx. 其中为指数函数的有 .(填序号) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 088 第四章　指数函数与对数函数　　　　　　　 指数函数的解析式 [例2] (1)若指数函数y=f(x)的图象 过点(2,4),则f(3)的值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.1 (2)已知指数函数y=ax +(a-2)(a-3) 的图象过点(2,4),则a= . 学生试答: 　　 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0， 且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式. 变式训练2 已知f(x)=ax +a-x(a> 0,且a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2) 的值是 ( ) A.14 B.13 C.12 D.11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数增长型与指数衰减型函数的实际应用 [例3] (1)春天来了,某池塘中的荷花枝 繁叶茂,已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面 积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满 池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷 叶已生长了 天. (2)为响应国家退耕还林的号召,某地的耕 地面积在最近50年内减少了10%,如果按此规 律,设2017年的耕地面积为m,则2022年的耕 地面积为 ( ) A.(1-0.1250)m B.0.9 1 10m C.0.9250m D.(1-0.9 1 10)m 学生试答: 　　 关于函数y=kax 在实际问题中的应用 (1)函数y=kax 是用来刻画指数增长或指数衰 减变化规律的非常有用的函数模型,一般当k>0时, 若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0<a<1,则 刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件 确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题. 变式训练3 (1)某种细菌经60分钟培 养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规 律为y=10ekt,其中k为常数,t表示时间(单位: 小时),y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培 养,细菌能达到的个数为 ( ) A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120 (2)某市2022年空气污染指数比2012年减