4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 [课标要求]1.通过对实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算 性质. [核心素养]1.通过对实数指数幂ax 含义的认识,提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求 值,培养数学运算素养. 1.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数) 是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂. 2.实数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 1.如何理解52? (阅读教材有关内容) 2.实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运 算性质相同吗? 3.下列运算是否正确? (1)(32)2=9; (2)a π 3·a π 6 =a π 2; (3)(-2)22=(-2)2·(-2)2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 无理数指数幂的运算 [例1] 化简(式中各字母均为正数): (1)(x2y3)6; (2)4x 1 2·3x- 1 2(-y3)·y- 3 3 . 学生试答: 　　 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减 运算. 　　(2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行 运算,一般指数中的根式可以保留. 变式训练1 计算下列各式: (1) π3 π3 2 3 ;(2)(m π 3m- π 6)12(m >0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 086 第四章　指数函数与对数函数　　　　　　　 条件因式的化简与求值 [例2] 已知a 1 2+a- 1 2=3,求下列各式的值. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) a 3 2 -a- 3 2 a 1 2 -a- 1 2 . 学生试答: 　　 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要 结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件 的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以 简化解题过程.本题若通过a 1 2 +a - 1 2 =3解出a的值 代入求值，则非常复杂. 变式训练2 已知x+y=12,xy=9,且 x <y,求 x 1 2 -y 1 2 x 1 2 +y 1 2 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数幂运算的综合应用 [例3] 计算: 1+ 1 232 1+ 1216 1+128 1+124 · 1+ 1 22 1+12 . 学生试答: 　　 解决此类创新题目,要善于观察式子的结构,巧 用1= 1- 1 2 ×2,创造逆用平方差公式的条件.同 时要灵活运用乘法公式等代数变形手段,巧妙进行整 体代换,培养创新意识. 变式训练3 计算: (3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)- 364 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.计算(π3)- 3 3 的结果是 ( ) A.π B.π C.-π D. 1 π 2.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0 的结果为 ( ) A.15 B.17 C.35 D.37 3.计算:a π 4a 3π 4a-π= . 4.已知x 1 2 +x- 1 2 =4,则 x+x-1+4 x2+x-2-200 的值为 . 5.计算:(83 × 3 33)23. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 087 必修第一册·A版 误;x -34 = 1 4 x3 = 4 1 x 3 (x >0), 故 ③ 正确;x -13 = 1 3x (x≠0),故④错 误; aa = a·a 1 2 = a 3 2 = a 3 4(a>0),故 ⑤ 正确. 变式训练2: (1)① 3 x2 ② 15 x3 ③ 7 y4