4.1.1 n次方根与分数指数幂(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 [课标要求]1.通过对有理数幂a m n(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)含义的认识,了解指数幂的拓展过程. 2.掌握指数幂的运算性质. [核心素养]1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程,发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化 简求值,发展数学运算素养. 1.n次方根 如果xn =a,那么x 叫做a的n 次方根,其中 n>1,且n∈N*.可用下表表示: n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= x= x=0 不存在 2.根式 (1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被 开方数. (2)性质:当n>1,n∈N* 时, ①( n a)n = ; ② n an = ,n为奇数, ,n为偶数. 　　 式子 n an 与( n a)n 的意义不同,化简运算过程中 不能混为一谈. 3.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1) 正分数指数幂 a m n = 负分数指数幂 a - m n = 1 a m n = 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分 数指数幂没有意义 　　 分数指数幂中,规定底数a>0,因为当a=0时, a0 及a的负分数指数幂没有意义;当a<0时,若n为 偶数,m 为奇数,则a m n,a - m n 无意义.因此这样规定就 省去了不必要的讨论,便于学习和应用. 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 1.等式a m n = n am 成立的条件是什么? 2.分数指数幂a m n 可以理解为m n 个a相乘吗? 3.(-1) 6 4 与(-1) 3 2 相等吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 083 n次方根 [例1] (1)有下列说法: ① 3 -27=3; ②16的4次方根是±2; ③ 4 81=±3; ④ (x+y)2 =|x+y|. 其中正确的有 . (2)求下列各式的值: ① 614- 3 338- 3 0.125; ② 3(-8)3 + 4(3-π)4; ③( 5 a-b)5+( 6 b-a)6(b>a). 学生试答: 　　n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相 反数,任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及 被开方数a的符号共同确定: ① 当n为偶数时,当a≥0, n a 为非负实数,当 a<0, n a 无意义. ② 当n为奇数时, n a 的符号与a的符号一致. 变式训练1 (1)化简 3 a3+ 4(1-a)4 的 结果是 ( ) A.1 B.2a-1 C.1或2a-1 D.0 (2)若 9a2-6a+1=3a-1,则a的取值 范围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根式与分数指数幂的互化 [例2] 下列关系式中,根式与分数指数幂 的互化正确的是 .(填序号) ①- x =(-x) 1 2(x >0); ② 6 y2 =y 1 3(y<0); ③x- 3 4 = 4 1 x 3 (x >0); ④x- 1 3 =- 3 x(x ≠0); ⑤ aa =a 3 4(a>0). 学生试答: 　　 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 ← 化为 → 分数指数的分母,被开方数 (式)的指数 ← 化为 → 分数指数的分子. 　　(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指 数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 变式训练2 (1)用根式的形式表示下列 各式(x >0,y>0): ①x 2 3 = ;②x- 3 5 = ; ③x- 1 2y 4 7 = . (2)用分数指数幂的形式表示下列各式(式 中字母都是正数): ① 13 a2 ;②a