3.3 幂函数(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解关于实数t 的不等式f(t-1)+ f(t)<0. 学生试答: 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且图 象关于直线x =2对称,当x ∈ [0,2]时, f(x)=2x2,则f(7)= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的 x ∈R有f(x+3)=-f(x),当x ∈(-3, 0)时,f(x)=2x-5,则f(8)等于 ( ) A.-1 B.-9 C.5 D.11 3.若函数y=f(x)在(0,2)上单调递增,函数 y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 ( ) A.f(1)<f 5 2 <f 72 B.f 7 2 <f(1)<f 52 C.f 7 2 <f 52 <f(1) D.f 5 2 <f(1)<f 72 4.已知偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上单调 递增,且图象经过点(-1,0)和(3,5),则当 x ∈ [-3,-1]时,函数y=f(x)的值域是 ( ) A.[0,5] B.[-1,5] C.[1,3] D.[3,5] 5.若f(x +a)(x ∈R,a ∈R)是奇函数,则 f(a)= . 6.若f(x+3)(x∈R)是偶函数,且f(-4)=1, 则f(10)= . 7.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶 函数,且 f(-1)=-1,则 f(2 022)+ f(2 021)= . 8.定义在(-∞,0)∪ (0,+∞)上的函数y= f(x)满足f(xy)=f(x)-f 1 y ,且函数 f(x)在(-∞,0)上单调递减. (1)求f(-1),并证明函数y=f(x)是偶函数; (2)若f(2)=1,解不等式f2- 4 x -f 1x ≤1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.3 幂函数 [课标要求]1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.通过具体实例,结合y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x 1 2 的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. [核心素养]以五个常见幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,发展学生的数学抽象、逻辑推理素养. 1.幂函数的概念 一般地,函数 叫做幂函数,其中x 是 自变量,α 是常数. 　　 幂函数的特征:①xα 的系数为1;②xα 的底数是 自变量;③xα 的指数为常数,只有同时满足这三个条 件,才是幂函数.形如y=(2x)α，y=2x3,y=x2+b 等的函数都不是幂函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 074 第三章　函数的概念与性质　　　　　　　 2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象 (2)幂函数的性质 幂函数y =x y =x2 y =x3 y =x 1 2 y =x-1 定义域 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R, 且y≠0} 奇偶性 单调性 x ∈ [0,+∞), x ∈ (-∞,0], x∈(0,+∞), x∈(-∞,0), 公共点 都经过点 　　 对于幂函数y=xα(α为实数)有以下结论: (1)当α>0时,y=xα 在(0,+∞)上单调递增; (2)当α<0时,y=xα 在(0,+∞)上单调递减; 　　(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直 线x=1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大 变小. 1.下列函数:①y=2x3;②y=x2+1;③y=(x+ 1)3 是幂函数吗? 2.幂函数y =xα 的图象在第一象限内有何 特征? 3.为什么幂函数在第四象限内不存在图象? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 幂函数的概念 [例1] (1)已知幂函数f(x)=kxα 的图 象过点 1 2 ,2 ,则k+α 等于 ( ) A.1