3.2.2 奇偶性(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第三章　函数的概念与性质　　　　　　　 3.2.2 奇偶性 第1课时 　 函数的奇偶性 [课标要求]1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义,并会用符号语言描述.2.了解奇偶函数的图象特 征,会判断简单函数的奇偶性. [核心素养]1.借助奇偶函数的图象特征培养直观想象素养.2.通过解决函数奇偶性与单调性的应用问题提升逻辑 推理、数学运算素养. 1.偶函数、奇函数的概念 定 义 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如 果∀x∈I,都有-x∈I,且 , 那么函数f(x)叫做偶函数 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如 果∀x∈I,都有-x∈I,且 , 那么函数f(x)叫做奇函数 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数,称 为非奇非偶函数 定义域 特征 偶函数、奇函数定义域关于原点对称 等价 形式 若f(x)≠0,则f (-x) f(x) =- 1⇔f(x)为奇函 数;f (-x) f(x)= 1⇔f(x)为偶函数 2.偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是 ;反之,若一个函 数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是 ;反之,若一 个函数的图象是以原点为对称中心的中心对 称图形,则这个函数是奇函数. 1.从奇偶函数的定义来考虑,若对于奇(偶)函 数定义域内的任意一个自变量x,它的相反 数-x 也在定义域内吗? 由此得到什么结 论?y=x2,x ∈ [-1,1)是偶函数吗? 2.一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数 是偶函数吗? 函数图象关于原点对称呢? 3.如图是偶函数f(x)在y 轴 右侧部分的图象,试画出函 数f(x)在y 轴左侧部分的 图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 067 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2 x ; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)= x x-1 ; (4)f(x)= x+1,x >0, -x+1,x <0. 学生试答: 　　1.判断奇偶性时,必须先求定义域. 2.有时需在定义域内对函数解析式进行变形、 化简,再找f(-x)与f(x)的关系. 3.对于分段函数,应分段讨论,要注意根据x 的 范围取相应的函数解析式. 变式训练1 (1)函数f(x)=2x- 1 x 的 图象关于 ( ) A.y 轴对称 B.直线y=-x 对称 C.直线y=x 对称 D.坐标原点对称 (2)(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域 都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是奇函数 B.|f(x)|g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是偶函数 D.|f(x)g(x)|是偶函数 (3)判断函数f(x)= x+2,x <-1, 0,-1≤x ≤1, -x+2,x >1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 的 奇偶性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 奇偶函数的图象问题 [例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的 偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则 使得f(x)<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪ (2,+∞) D.(-2,2) (2)设奇函数f(x)的定义 域为[-5,5],若当x ∈ [0,5] 时,f(x)的图象如图,则不等式 f(x)<0的解集是 . 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋