3.1.1 函数的概念(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 第1课时 　 函数的概念(1) [课标要求]1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数 概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素,能求简单函数的 定义域. [核心素养]1.通过对函数概念的理解,提升数学抽象素养.2.通过求简单函数的定义域,提升数学运算素养. 1.函数的有关概念 函数的定义 一般地,设A,B 是 实数集,如果 对于集合A 中的 ,按照某种确定 的对应关系f,在集合B 中都有 和它对应,那么就称 为从集合A 到集合B 的一个函数 函数的记法 y=f(x),x ∈A 定义域 x 叫做 ,x 的 叫做函数 的定义域 函数值 与 相对应的y 值 值域 函数值的集合 叫做函数的值域, 显然,值域是集合B 的子集 2.函数的三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素:定 义域、对应关系、值域. 　　1.A,B 是非空的实数集. 2.定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一 定是非空实数集B,而是集合B 的子集. 3.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、 唯一性,即对于非空实数集A 中的任意一个(任意性) 元素x,在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一 性)的元素y与之对应. 1.“y=f(x)”表示的是“y 等于f 与x 的乘 积”吗? 2.函数定义域内不同的自变量能否对应同一个 函数值? 3.在研究函数时,除用符号f(x)外,是否能用 g(x),F(x),G(x)等来表示函数? 4.对于函数f:A →B,值域一定是集合B 吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 048 第三章　函数的概念与性质　　　　　　　 函数关系的判断 [例1] (1)下图中,能作为函数y=f(x) 的图象的是 ( ) A B C D (2)判断下列对应关系中哪个是从集合A 到集合B 的函数? ①A=B=N*,f:x →y=|x-3|; ②A=R,B={0,1},f:x→y= 1(x≥0), 0(x<0); ③A=B=R,f:x →y=± x; ④A=Z,B=Q,f:x →y= 1 x. 学生试答: 　　 判定一个关于x,y 的关系式能否构成函数关 系,要考虑以下两方面:①x 的取值集合是否为非空 数集;② 对于定义域中任何一个x 的值,是否有唯一 确定的y值与之对应. 变式训练1 (1)(多选题)下列图象中能 作为函数图象的是 ( ) A B C D (2)判断下列对应是否为函数,若是函数? 写出定义域与值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求函数的值 [例2] 已知f(x)= 1 1+x (x ∈ R,且 x ≠-1),g(x)=x2+2(x ∈R). (1)求f(2),g(2)的值; (2)求f(g(3))的值. 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 049 　　 求函数值的方法及关注点 (1)方法:① 已知f(x)的解析式时,只需用a替 换解析式中的x 即得f(a)的值;② 求f(g(a))的值 应遵循由里往外的原则. (2)关注点:用来替换解析式中x 的数a必须是 函数定义域内的值,否则求值无意义. 变式训练2 已知函数f(x)= x+1 x+2 . (1)求f(2); (2)求f(f(1)). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求函数的定义域 [例3] (1)已知等腰△ABC的周长为10, 则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y=10- 2x,则函数的定义域为 .