2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第二章　一元二次函数、方程和不等式　　　　　　　 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 [课标要求]1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元 二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. [核心素养]从函数观点认识不等式,感悟数学知识之间的关联,认识函数的重要性,重点提升数学抽象和数学运算 素养. 1.一元二次不等式及一元二次不等式的解集 (1)一元二次不等式 一般地,我们把只含有 ,并且未知数 的最高次数是 的不等式,称为一元二次 不等式. (2)一元二次不等式的解集 一般地,使某个一元二次不等式 的 x 的 叫做这个不等式的解,一元二 次不等式的 组成的集合叫做这个一元 二次不等式的 . 2.二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们 把使 的实数x 叫做二次函数 y=ax2+bx+c的零点. 3.二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二 次不等式的解集之间的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两 个 不 相 等的 实 数 根 x1,x2(x1< x2) 有两个相等的 实数根x1 = x2= - b 2a 没有实数根 ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 {x |x1 < x <x2} 1.(1)不等式x2 + 2 x >0 是一元二次不等 式吗? (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可 以省略吗? (3)二次函数的零点是点吗? 2.仔细观察三个“二次”之间的关系表,回答下 列问题. (1)有人说:当Δ>0时,表中的x1,x2有三重 身份,你能说出是哪三重身份吗? (2)当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a> 0)与ax2+bx+c≤0(a>0)的解集分别是 什么? 3.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为 R,则实数a应满足什么条件? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 第1课时 　 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)-x2+8x-3>0; (3)-4x2+18x- 81 4 ≥0 ; (4)- 1 2x 2+3x-5>0; (5)-2x2+3x-2<0. 学生试答: 　　 在基本解法熟练掌握之后通常采用如下步骤解 一元二次不等式. 　　第一步:化归为标准式. 第二步:分解因式(若能分解成两个一次因式的 乘积,则对应方程一定有根,并且方程的根一目了 然). 第三步:结合图象(相应二次函数的图象可画在 草稿纸上)写出不等式解集. 变式训练1 解下列不等式: (1)x2-5x+6≤0; (2)-2x2+5x-3≤0; (3)x2-6x+9>0; (4)x2+x+1>0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x 的不等式:ax2-(a+ 1)x+1<0. 学生试答: 　　 解含参数的一元二次不等式与解一般的一元二 次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思 想的运用. 　　(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等 于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大 于0或小于0进行讨论. (2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确 定,需对其判别式Δ 进行讨论. (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小 进行讨论. 变式训练2 解关于x 的不等式:ax2- 2x+a<0(a∈R). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋