2.2 基本不等式(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第二章　一元二次函数、方程和不等式　　　　　　　 [一题多变] (变设问)在本例条件下,求ab 的取值范围. 变式训练3 已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y 的取值范围; (2)求3x+2y 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.若a,b,c为实数,则下列命题错误的是 ( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2<b2 C.若a>b>0,则 1 a < 1 b D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd 2.若1a < 1 b <0 ,则下列结论中不正确的是 ( ) A.a2<b2 B.ab<b2 C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b| 3.若a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式 中正确的是 ( ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2 4.若0<α< π 2 ,0<β< π 2 ,那么2α-β3 的范 围是 . 5.若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a- b)c2 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2 基本不等式 [课标要求]1.掌握基本不等式 ab ≤a+b2 (a>0,b>0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小 问题. [核心素养]通过学习掌握基本不等式及其简单应用,重点发展数学运算、逻辑推理素养. 1.重要不等式 对于任意实数a,b,有a2+b2 ≥2ab,当且仅 当a=b时,等号成立. 2.算术平均数与几何平均数 给定两个正数a,b,a+b2 称为a,b的算术平 均数;ab 称为a,b的几何平均数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 3.基本不等式 (1)基本不等式 如果a,b都是正数,那么a+b2 ≥ ab ,当且仅 当a=b时,等号成立,其实质是两个正数的算 术平均数不小于它们的几何平均数. 　　1.“当且仅当”的含义:(1)当a=b时取等号, 即a=b⇒ a+b 2 = ab ;(2)仅当a=b时取等号,即 a+b 2 = ab⇒a=b. 2.基本不等式可变形为a+b≥2 ab,ab≤ a+b 2 2 . (2)基本不等式的证明 方法一(比较法):因为a,b 都是正数,所以 a+b 2 - ab = a+b-2 ab 2 = (a - b)2 2 ≥0 ,即a+b 2 ≥ ab. 而且,等号 成立时,当且仅当(a - b)2=0,即a=b. 方法二(几何法):如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的 一点,且AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于AB 的弦DE,连 接AD,BD. 易证 Rt△ACD ∽ Rt△DCB,那么 CD2 = CA·CB,即CD= ab. 这个圆的半径为a+b 2 ,显然,它大于或等于 CD,即a+b2 ≥ ab. 其中当且仅当点C 与圆心重合,即a=b时, 等号成立. 因此,基本不等式 ab≤ a+b 2 的几何意义是 “半径不小于半弦”. 1.重要不等式与基本不等式成立的条件相同 吗? 基本不等式成立的条件能省略吗? 2.两个正数的积为定值,一定能运用基本不等 式求和的最小值吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第1课时 　 基本不等式 理解基本不等式 [例1] 判断下列结论是否正确. (1)若a∈R,则a2+9≥6a; (2)若a·b>0,则a+b≥2 ab; (3)若a·b>0,则 b a + a b ≥2 ; (4)若a<0,b<0,则 b a + a b ≤-2. 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 第二章　一元二次函数、方程和不等式　　　　　　　 　　1.使用基本不等式的前提条件是a>0,b>0. 2.基本不等式中等号成立的条件是a=b. 变式训练 1 (1)不 等 式(x -2y)+ 1 x-2y≥ 2成立的前提条件为 ( )