2.1 等式性质与不等式性质(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 　 不等关系与不等式 [课标要求]1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念. [核心素养]通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小,发展数学抽象及数学运算素养. 1.在现实世界和日常生活中,大量存在着相等 关系和 . 2.关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么 ;如果a-b 等于0,那么 ;如果a-b是负数,那 么 .反过来也对. 这个基本事实可以表示为 a>b⇔ ; a=b⇔ ; a<b⇔ . 3.一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥ ,当 且仅当 时,等号成立. 1.在日常生活中,我们经常看到下列标志: (1)你知道各图中的标志有何作用? 其含义 是什么吗? (2)你能用数学式子表示上述关系吗? 如何 表示? 2.比较x2+3与3x 的大小(其中x ∈R). 3.观察教材中图2.1-4(如图), 阅读有关内容. 你能用类似的方法,在下面 这个图中找出一些相等关系 和不等关系吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的 钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的 要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管 数量的3倍,写出满足上述所有不等关系的不等 式(组). 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 第二章　一元二次函数、方程和不等式　　　　　　　 　　1.将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于,高 于,超过 小于,低 于,少于 大于或等于, 至少,不低于 小于或等于, 至多,不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 变式训练1 咖啡馆配制两种饮料,甲种 饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 g,4 g,3 g,乙种 饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4 g,5 g,5 g.已知 每天使用原料分别为奶粉3 600 g、咖啡2 000 g、 糖3 000 g,设每天配制甲种饮料x 杯,乙种饮料 y杯,请写出满足上述所有不等关系的不等式组. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 实数(式)的比较大小 [例2] (1)设m ∈R,x ∈R,比较x2- x+1与-2m2-2mx 的大小. (2)设a>b>0,试比较 a2-b2 a2+b2 与a-b a+b 的 大小. 学生试答: 　　1.作差法比较a与b的大小,归结为判断它们的 差a-b的符号(注意是指差的符号,至于差的值究竟 是多少,在这里无关紧要). 2.确定差的符号往往有两种方法 (1)将差式化成几个非负数或非正数的和的形式 (如(1)题). (2)将差式化成几个因式乘积的形式. 　　3.作差法比较大小的步骤: 作差 → 变形 → 定号 → 下结论. 变式训练2 (1)已知0<a< 1 2 ,若A= 1+a2,B= 1 1-a ,则A 与B 的大小关系是 ( ) A.A <B B.A >B C.A=B D.不确定 (2)已知a>b,求证:a3-b3>ab(a-b). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不等关系的实际应用 [例3] 先后两次购买同一种物品,可采取 两种不同的方式,第一种是不考虑物品价格的 升降,每次购买该物品的数量一定;第二种是不 考虑物品价格的升降,每次购买该物品所花的 钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种 物品,其中甲在两次购物时均采用第一种方式, 乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一 次购物时该物品的单价为p1,第二