1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 [课标要求]1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. [核心素养]通过对全称量词命题与存在量词命题的否定的学习,重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 1.全称量词命题的否定 全称量词命题p 􀱑p 结论 ∀x ∈M,p(x) 全称量词命题的否 定是 命题 　　 对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题, 给出全称量词命题的否定时,既要改变全称量词,又 要否定结论,所以找出全称量词、明确命题所提供的 结论是对全称量词命题否定的关键. (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否 定,一般要先改写为含有全称量词的命题,再写出命 题的否定. 2.存在量词命题的否定 存在量词命题p 􀱑p 结论 ∃x ∈M,p(x) 存在量词命题的否 定是 命题 　　 对存在量词命题的否定及其特点的理解 存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出 存在量词命题的否定时,既要改变存在量词,又要否 定结论,所以找出存在量词、明确命题所提供的结论 是对存在量词命题否定的关键. 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命 题吗? 2.为什么存在量词命题的否定一定是全称量词 命题? 3.对省略量词的全称量词命题或存在量词命题 怎样否定? 4.一个命题和它的否定不能同时为真命题,也 不能同时为假命题,只能一真一假. 有的同学认为:“∀x<1,2x-3<3”的否定 是“∃x >1,2x-3≥3”.你能判断此说法的 正误吗? 若错误,应如何修改? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题的否定 [例1] (1)命题“对任意x∈R,都有x2≥ 0”的否定为 ( ) A.对任意x ∈R,都有x2<0 B.不存在x ∈R,使得x2<0 C.存在x ∈R,使得x2≥0 D.存在x ∈R,使得x2<0 (2)写出下列全称量词命题的否定. ① 任何一个平行四边形的对边都平行; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 第一章　集合与常用逻辑用语　　　　　　　 ②∀a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根; ③∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解. 学生试答: 　　 全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称 量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量 词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千 万不要将否定写成“是”或“不是”. 变式训练1 (1)设x∈Z,集合A 是奇数 集,集合B 是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈ B,则 ( ) A.􀱑p:∃x ∈A,2x ∈B B.􀱑p:∃x ∉A,2x ∈B C.􀱑p:∃x ∈A,2x ∉B D.􀱑p:∀x ∉A,2x ∉B (2)命题“∀a ∈ R,一元二次方程x2 - ax-1=0有实根”的否定是 ( ) A.∀a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0 没有实根 B.∃a∉R,一元二次方程x2-ax-1=0 没有实根 C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0 没有实根 D.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1≠0 没有实根 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 存在量词命题的否定 [例2] (1)命题p:∃x>0,x+ 1 x=2 ,则 􀱑p 为 ( ) A.∀x >0,x+ 1 x =2 B.∀x >0,x+ 1 x ≠2 C.∀x ≤0,x+ 1 x =2 D.∀x ≤0,x+ 1 x ≠2 (2)写出下列存在量词命题的否定,并判断 其真假. ①p:∃x ∈R,2x+1≥0; ②q:∃x ∈R,x2-x+ 1 4<0 ; ③r:有些分数不是有理数. 学生试答: 　　 存在量词命题的否定的方法及关注点 (1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要 写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再 确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论 作出否定