1.5.1 全称量词与存在量词(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第一章　集合与常用逻辑用语　　　　　　　 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 [课标要求]通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命 题,并能判断其真假. [核心素养]用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应教学内容,重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 1.全称量词和全称量词命题 (1)全称量词 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)全称量词命题 ①定义:含有 的命题,叫做全称量词 命题. ②一般形式:全称量词命题“对M 中任意一个 x,p(x)成立”可用符号简记为 , 读作“对任意x 属于M,有p(x)成立”.其中 M 为给定的集合,p(x)是一个关于x 的命题. 2.存在量词和存在量词命题 (1)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)存在量词命题 ①定义:含有 的命题,叫做存在量词 命题. ②一般形式:存在量词命题“存在M 中的元素 x,p(x)成立”可用符号简记为 , 读作“存在M 中的元素x,使p(x)成立”. 1.常见的全称量词、存在量词还有哪些? 2.全称量词命题“∀x ∈M,p(x)”为真的含义 是什么? 3.存在量词命题“∃x ∈M,p(x)”为真的含义 是什么? 4.命题“x,y∈R,x2+y2≥2xy”是全称量词 命题,还是存在量词命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全称量词命题与存在量词命题的判定 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还 是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于 圆的半径; (3)至少有一个三角形没有外接圆; (4)有些素数的和仍是素数; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的 对角线互相垂直. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 学生试答: 　　 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命 题的思路 提醒:全称量词命题可能省略全称量词,存在量 词命题的存在量词一般不能省略. 变式训练1 (1)下列命题中为全称量词 命题的是 ( ) A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆 C.过直线外一点有一条直线和已知直线 平行 D.∃x ∈R,x2+x ≤2 (2)下列命题中,全称量词命题的个数为 ( ) ① 平行四边形的对角线互相平分;② 梯形 有两条边的长度不相等;③ 存在一个菱形,它的 四条边不相等;④ 高二(1)班绝大多数同学是 团员. A.0 B.1 C.2 D.3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用量词表示命题 [例2] 用全称量词或存在量词表示下列 语句. (1)有理数都能写成分数形式; (2)整数中1最小; (3)方程x2+2x+8=0有实数解; (4)有一个素数是偶数. 学生试答: 　　 由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称 量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题 的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词， 即可使题意清晰明了. 变式训练2 (1)命题“存在实数x,y,使 得x+y<1”是 (填“全称量词命题” 或“存在量词命题”),用符号表示为 . (2)用量词符号表述全称量词命题. ① 任意一个实数乘以 -1都等于它的相 反数; ② 对任意实数x,都有x3>x2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 第一章　集合与常用逻辑用语　　　　　　　 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [例3] 判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对 (x,y)都对应一点P;