1.4.2 充要条件(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

3.已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是 q的一个必要不充分条件,则实数m 的取值范 围为 ( ) A.{m|m ≥8} B.{m|m >8} C.{m|m >-4} D.{m|m ≥-4} 4.p:实数x,y满足x+y>2,q:实数x,y满足 x >1且y>1,则p 是q的 条件. 5.有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答: 命题:“若点在B 内,则点一定在A 内”中,“点 在B 内”是“点在A 内”的什么条件;“点在A 内”又是“点在B 内”的什么条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.4.2 充要条件 [课标要求]通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. [核心素养]针对充要条件问题,通过几个数学定义的研究比较,学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过 程,提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 1.逆命题 将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换, 就得到一个新的命题“ ”,称这个命题 为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均 是 ,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 .此时,p 既是q 的充分条件,也是q 的必要条件,我们说p 是q 的充分必要条件, 简称为 ,显然,如果p 是q的充要条 件,那么q也是p 的充要条件. 　　1.“p是q的充要条件”中,p是条件,q是结论. “q是p的充要条件”中,q是条件,p是结论. 2.充要条件的等价说法:p 是q的充要条件又常 说成q成立当且仅当p成立,或p与q等价. 1.命题p 和q的条件关系通常有几类? 2.设命题p,q对应的集合为A:{x|p(x)},B: {x|q(x)},则从集合的角度分析充分、必要 条件如下: 关系 A ⫋B B ⫋A A=B A ⊈B 且B ⊈A 图示 结论 p 是q的 充分不必 要条件 p 是q的 p 是q的 充要条件 p 是q的 逻辑 关系 q⇒p 且 p⇒/q p⇒/q且q⇒/p 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 第一章　集合与常用逻辑用语　　　　　　　 充要条件的判断 [例1] 下列各题中,哪些p 是q 的充要 条件? (1)p:x ≠0,q:x+|x|>0; (2)p:关于x 的方程ax+b=0(a,b∈R) 有唯一解,q:a>0; (3)a,b∈R,p:ab>0,q:|a+b|=|a|+ |b|; (4)p:c=0,q:y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象经过原点. 学生试答: 　　 判断p 是q的什么条件,通常有如下两种方法 (1)定义法,即把题目中所给条件按逻辑关系画 出箭头示意图,再用定义进行判断,这是最常用、最 基本的方法. 通常对p⇒q要予以证明,p⇒/q可举反例说明. (2)集合法,利用集合间包含关系进行判断,常用 于一些范围问题. 变式训练1 下列各题中,p 是q 的什么 条件? (1)p:x=1或x=2,q:x-1= x-1; (2)p:x=|y|,q:x=y; (3)p:x <3,q:0<x <3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充要条件的证明 [例2] 求证:一元二次方程ax2+bx + c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负 实根的充要条件是ac<0. 学生试答: 　　 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p 是q的充要条件,需要从 充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若 p,则q”为真且“若q,则p”为真. 　　(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来 证明,证明p与q的解集是相同的. 提醒:证明时一定要注意分清充分性与必要性的 证明方向. 变式训练2 求证:一次函数y=kx + b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �