1.4.1 充分条件与必要条件(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第一章　集合与常用逻辑用语　　　　　　　 A {1,2,3,4,5} {-1,0,1} {-4,8} B {2,4,6,8}{-2,-1,0,1}{-4,-2,0,2} A@B {1,3,5,6,8} {-2} {-2,0,2,8} 若A={-2 021,0,2 021},B={-2 021,0, 2 022},试根据图表中的规律写出 A@B = . 5.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x| x2-ax+a-1=0},若A∪B=A,求a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 [课标要求]1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型 数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. [核心素养]通过对必要条件、充分条件的学习和理解,体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证 等方面的作用,重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 1.充分条件与必要条件 (1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p 通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p 可 以推出q,记作p⇒q,并且说p 是q的 ,q是p 的 . (2)如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p 不能推出结论q,记作p⇒/q,此时,我们就说p 不是q的充分条件,q不是p 的必要条件. 　　1.若p⇒q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是 说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足 够的,条件是足以保证的,“有之必成立,无之未必不 成立.” 2.若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是 条件是必须有的,必不可少的,缺其不可,“有之未必 成立,无之必不成立.” 2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件 的关系 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相应 数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应 数学结论成立的一个必要条件. 1.若p 是q 的充分条件,这样的条件p 是唯一 的吗? 2.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示 的推出关系是否相同? 3.有以下五种表述形式:①p⇒q;②p 是q 的充 分条件;③q的充分条件是p;④q是p 的必要 条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等 价吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 充分条件的判断 [例1] 下列命题中,p 是否是q 的充分 条件? (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是 矩形; (3)p:x=1,q:x2-4x+3=0; (4)p:m <-1,q:x2-x-m=0无实根. 学生试答: 　　 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的 充分条件，否则条件就不是结论的充分条件. 　　(2)命题判断法 如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充 分条件; 如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的 充分条件. 变式训练1 下列“若p,则q”形式的命题 中,哪些命题中的p 是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若a<b,则 a b <1 ; (3)若x,y∈R,|x|=|y|,则x=y. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必要条件的判断 [例2] 下列“若p,则q”形式的命题中,哪 些命题中的q是p 的必要条件? (1)若△ABC 是直角三角形,则△ABC 是 等腰三角形; (2)若x=1,则x-1= x-1; (3)若a是自然数,则a是正整数. 学生试答: 　　 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 第一步:确定谁是条件,谁是结论; 第二步:尝试由条件推结论; 第三步:若条件能推出结论,则结论为条件的必 要条件,否则结论就不是条件的必要条件. 􀪋 􀪋