2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程、不等式 2.3.2 一元二次不等式的应用 高中数学/人教A版/必修一 一元二次不等式解法回顾： 是因式分解形式？ 直接写解集 是 否 问题1.解不等式：(1) <0 (2)≥2 解：(1)原不等式可化为(3x-2)(2x+3)<0. 故原不等式的解集为{x｜-<x< }; (2)移项通分得：≥0, 故原不等式 的解集为{x｜x<-3,或x≥8} 简单分式不等式的解法 1 , 转化与化归 形如>a, <a,≥a,≤a的分式不等式，求解方法是先右侧清零， 左侧通分后利用符号法则转化为整式不等式即可求解. 要注意分母不为零！ 方法总结 ≥0 简单分式不等式的解法 1 练一练 (1) ≥0 (2)<1 求下列不等式的解集： 答案：(1){x｜<x≤2} (2){x｜x<，或 x>} 问题2.解不等式：(1)(x+2)(1-x)(x-2)<0 (2)<0 解：(1)原不等式可化为(x+2)(x-1)(x-2)>0. 令(x+2)(x-1)(x-2)=0，得各因式的根：x1=-2, x2=1,x3=2;结合下图，可得原不等式的解集为 {x｜-<x< }; 高次不等式的解法 2 转化与化归 -2 2 1 x 问题2.解不等式：(1)(x+2)(1-x)(x-2)<0 (2)<0 解：(2)原不等式可化为(2x+5)(x-1)<0,且x≠-1. 所以原不等式的解集为 {x｜-<x<-1,或-<x<1 }; 高次不等式的解法 2 转化与化归 - 1 -1 x 应用穿针引线法可快速求解高次不等式的解集. 穿针引线法的本质是实数的符号法则！在数轴上标注各因式的根，从右上方开始下穿x轴，当因式为奇数次时，遇其根就穿过x轴，偶次时，遇x轴返回,即奇穿偶回. 方法总结 高次不等式的解法 2 练一练 (1)x(x+1)(x-3)<0 (2)≥0 求下列不等式的解集： 答案：(1){x｜x<-1,或0<x<3} (2){x｜-2≤x≤1，或 x} 问题3.解不等式：>1 解：(1)显然,a=0时原不等式不成立； (2)原不等式可化为-1>0, 即>0. 等价于[(a-1)x-(2a-1)](x-1)>0 高次不等式的解法 2 转化与讨论 1)若a=1,则有x<1; 2)若a>1,则原不等式的解集为{x｜x<1,或x>}; 3)若0<a<1,则原不等式的解集为{x｜<x<1}; 4)若a<0,则原不等式的解集为{x｜1<x<}. 综合(1)(2),得： 当a=0时,原不等式的解集为； 当a=1时,原不等式的解集为{x｜x<1}; 当a>1时,原不等式的解集为{x｜x<1,或x>}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x｜<x<1}; 当a<0时,原不等式的解集为{x｜1<x<}. 高次不等式的解法 2 转化与讨论 在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小.在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全面出错. 方法总结 高次不等式的解法 2 问题4.已知关于x的不等式(m-1)x2-x+1>0对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围. (1)当m=1时，显然不符; (2)当m≠1时，由已知，二次函数y=(m-1)x2-x+1 开口朝上，且与x轴无公共点，即 m>1 , 且 1-4(m-1)<0,解得：m> 故原不等式的解集为 {m｜x>} 不等式恒成立问题 3 , 转化与化归 二次函数型恒成立问题的解答，要注意两点： 1.二次系数含字母的，要考虑系数是否会为零， 即要分类讨论； 2.将问题转化为判别式正负或方程根的分布问题， 需要结合函数图像作具体分布，列出参数满足 的不等关系. 方法总结 不等式恒成立问题 3 练一练 已知y=x2-2ax+4,-1≤x≤1,若y≥1恒成立，求实数a的取值范围. 解题要领：1.数形结合！ 2.转化为ymin≥1 答案：{a｜-2≤a≤2} 解:设