2.2 基本不等式（第一课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程、不等式 2.2.1 基本不等式 高中数学/人教A版/必修一 知识篇 素养篇 思维篇 2.2.1 基本不等式 在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① a×a+b×b a×b+b×a ≥ 二次式 二次式 自乘的和 互乘的和 不小于 如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图)，那么公式 ①折射出生活的哲理： 自立自强比互相合作更重要！ 重要不等式 1 a a b b 特别地： a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① 重要不等式 1 当b=1时，有a2+1≥2a(a∈R) （降次功能） 当b=时，有a2+≥2(a≠0) （消元功能） 1.求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R) 练一练 提示：a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ca 基本不等式 2 如果a>0, b>0, 我们用，分别代替a,b,可得 ≤ (当a=b时取等号) ② 其中，叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 通常称公式②为基本不等式. 基本不等式 2 ≤ (a>0, b>0) 的证明： ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 基本不等式 2 ≤ (a>0, b>0) 的几何解释： D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD= , 半径为 . 思考：图中什么时候 = ？ 基本不等式的简单变形 3 ≥ (a>0, b>0) ≤()2 (a>0, b>0) ≤ (a>0, b>0) 和 积 基本不等式的功能：和积转化 练一练 2.设a>0，b>0，证明下列不等式： (1) (a+)(b+)≥4 (2) (a+b)(+)≥4 3.已知x>0，求 x + 的最小值. 基本不等式的前提条件 4 在问题“已知x>0，求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 的最小值就不是2或者不存在. 由此我们归纳，依a+b≥2 求两个数和或积的最值， 必须要满足条件：(1) ； (2) ； (3) . 练一练 4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系. 解答： x(2-x)≤()2=1 , 只有x=1时才取等号 知识篇 素养篇 思维篇 2.2.1 基本不等式 1.已知x，y都是正数，求证： (１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２； (２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模 问 题 分 析 提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2． 无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最 值，且都在x＝y时取得等号. 基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件. 2.已知a，b都是正数，求证： (１) ≤； (２)≤． 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 问 题 分 析 提示：(1) ≥2