2.2 基本不等式（第二课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程、不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值 高中数学/人教A版/必修一 基本不等式的功能在于“和积互化”. 基本不等式的应用主要有：证明不等式，求代数式的最值，辅助解决实际问题，消元，多项式降次，等等. 本节课学习基本不等式在求最值过程中的应用. ≤ (当a=b时取等号) 用基本不等式求最值 解：y== ≤= ， 即y的最大值为 ,当x=2时，等号成立. 例1. 已知 x>0, 则y=的最大值 . (一) 直接求最值 方法总结： 代数式局部的和(或积)为定值时，可考虑用基本不等式转化，但要检查前提条件：一正二定三相等. (二) 分步求最值 例2.已知a>b>0, 求a2+的最小值. 解：因为0<b(a-b)≤()2= 所以a2+≥a2+≥16 当a=2b=2时，等号成立. 用基本不等式求最值 方法总结： 本题代数式局部为积的形式，用基本不等式可取得消元的效果，再从整体结构出发使用基本不等式，求得最值. 已知a>1,b>0,则+2a的最小值为 . 练一练 提示： 目标式局部：b2+1≥2b, 所以 +2a≥ +2(a-1)+2≥… 解：由已知，xy=x+y+2≥2+2 即2≥3， xy≥(+1)2=4+2 当x=y=1+时，等号成立. 例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的 最小值为 . (三) 条件最值之和积转化 用基本不等式求最值 方法总结： 已知条件同时含有和与积，而目标式只含有积，故先借助于基本不等式将和转化为积，再求最值. 已知 x>0, y>0, 且x2+4y2+5xy=1，则 x+2y 的最小值为 . 练一练 提示： 由条件式得：1=(x+2y)2+xy, =(x+2y)2+x(2y)= … 解法一：由=1 得y=, 所以x+y = x-8++8=[(x-8)+]+10≥2+10=18 当(x-8)= ，即x=2y=12时，等号成立. 例4.已知 x>0, y>0 ，+=1,求x+y的最小值. (四) 条件最值之代入消元 用基本不等式求最值 解法二：因为=1，所以x+y=(x+y)(+) =10++≥2+10=18 当x=2y=12时，等号成立. (五) 条件最值之逆向代换 例4.已知 x>0, y>0 ，+=1,求x+y的最小值. 用基本不等式求最值 方法总结： 在求含两个变量代数式的最值时，代入消元是可考虑的一个方向；如果条件是代数式等于常数的结构，逆向代换往往是高效的解决途径. 练一练 已知0<x<1,那么的最小值为 . 提示： 目标式中有隐含条件：x+(1-x)=1 所以=()(x+(1-x))=… 解：由=2，得+=1 所以 2x+y=[2x+(y+1)]-1 =[2x+(y+1)]()-1 ≥4-1=3 当x=y=1时，等号成立. (四) 配凑条件求最值 例5.已知x>0,y>0,且=2, 那么2x+y的最小 值为 . (六) 条件最值之结构配凑 用基本不等式求最值 方法总结： 用逆向代换时，代数式结构不完整的，可以进行适当的配凑. 本题也可以先用代入消元法，再用基本不等式. 练一练 已知x>0,y>0,且x+y=1的最小值 为 . 提示： 令x+2=m, y+1=n; 则由已知得： m+n=4, m>2, n>1 =+ =(m+n)+(+)-6(以下逆代） 例6.已知x>0,y>0,且=，求xy的最小值. (七) 条件最值之等价变形 解：由等式 = 变形得xy=x+y+8 所以xy≥2+8 解得xy最小值为16 当x=y=4时，等号成立. 用基本不等式求最值 方法总结： 条件式应该怎样使用，取决于目