第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1．通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2．掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3．掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 4．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决。 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、一元二次不等式的解法 1、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、解一元二次不等式的一般步骤 1、判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； 2、求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3、标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； 4、写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 四、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 五、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 考点一：解不含参数的一元二次不等式 例1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 的解集为___________________. 考点二：解含参数的一元二次不等式 例2．关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】解关于x的不等式. 考点三：三个“二次”之间的关系 例3．已知不等式的解集是，求a，c的值. 【变式训练】若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ） A．和 B． C． D．和 考点四：一元二次不等式恒成立与有解问题 例4．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 考点五：一元二次不等式在实际中的应用 例5．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式训练】学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围． 1．不等式的解集为（ ） A． B．