第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 离散型随机变量的方差 离散型随机变量的方差 授课人：XXX 学习目标 通过具体实例，理解离散型随机变量的方差与标准差. 掌握方差的性质. 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 核心素养 逻辑推理 离散型随机变量的方差的性质. 数学抽象 离散型随机变量的方差的概念. 数学运算 求离散型随机变量的方差. 知识回顾 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望. 离散型随机变量均值的定义： 知识回顾 离散型随机变量均值的性质: 特例 均值 意义 常数的均值就是这个常数的本身. 随机变量与常数之和的均值等于随机变量的均值与这个常数的和. 常数与随机变量的乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 课程导入 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”. 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小. 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. Part 01 离散型随机变量 方差的定义 问题探究 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如表1和表2所示. 问题1 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 如何评价这两名同学的射击水平？ 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表1 表2 问题探究 先比较击中环数的均值，均值大的水平较高， 若均值相同，再比较稳定性，越稳定，水平越高. 通过计算可得， ， . 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 问题探究 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 图1和图2分别是和的概率分布图. 观察两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 图1 图2 系列 1 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 系列 1 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 离散型随机变量均值 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 问题2 回忆一下，样本数据的离散程度是用哪一个量来刻画的？ 追问1 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度， 它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. 问题探究 一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 追问2 设离散型随机变量的分布列如下表所示. 问题探究 随机变量的可能取值与均值的偏差 因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 为避免正、负偏差相互抵消，取偏差的平方 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， 则称 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 定义： 离散型随机变量的方差 由方差的定义可以看出，本质上方差是随机变量的函数的均值（期望），即 . 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 本质 意义 离散型随机变量的方差 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性. 由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ， ， 因为 （等价地，）， 所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 离散型随机变量的方差 方差的计算可以简化吗？ 问题3 离散型随机变量的方差 随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系呢？ 问题4 区别 联系 随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随样本容量的变化而变化，是客观存在的. 样本的方差则是随机变量，它是随着样本容量的不同而变化的. 对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近总体的方差，即越来越接近随机变量的方差. Part 02 离散型随机变量 方差的性质 问题探究 离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 问题5 问题探究 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数， 故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即 离散型随机变量方差的性质 如何证明这个结论呢？ 追问 一般地，下面的结论成立：