第七章 7.3.1 离散型随机变量的均值-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 离散型随机变量的均值 离散型随机变量的均值 授课人：XXX 学习目标 通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，能计算简单离散型随机变量的均值. 理解离散型随机变量的均值的性质. 会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关问题. 核心素养 逻辑推理 离散型随机变量的均值的性质. 数学抽象 离散型随机变量的均值的概念. 数学运算 求离散型随机变量的均值. 知识回顾 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 为的概率分布列，简称分布列. 分布列的概念 分布列的性质 ，； 1 . 2 课程导入 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便. 例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. Part 01 离散型随机变量 均值的定义 问题探究 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 问题1 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 问题探究 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 . 甲次射箭射中的平均环数为 当足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 问题探究 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 离散型随机变量均值 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望. 你能将上面问题中样本均值的稳定值用一般化的数学语言表示吗？ 问题2 离散型随机变量均值 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 这里的“平均水平”的含义是什么？ 问题3 反复对这个随机变量进行独立观测，随着观测次数的增加，所得到的各个观测值的算术平均值越来越接近于这个随机变量的均值. 离散型随机变量均值 它是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标. 由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位. 均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性. 对离散型随机变量均值的理解 例题解析 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 例1 分析： 罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量服从两点分布. 的分布列如下表所示： 的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平· 例题解析 解： 因为 ，， 所以 . 即该运动员罚球1次的得分的均值是0.8. 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 . 例题解析 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 例2 分析： 先求出的分布列，再根据定义计算的均值. 解： 的分布列为 因此 Part 02 随机变量的均值与 样本均值的关系 问题探究 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图（1）和（2）所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 问题4 问题探究 （1） （2） 观察图形可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 区别 联系 随机变量的均值与样本均值的关系 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，它总是稳定的，不具有随机性. 样本均值是随机的，它随着样本抽取的不同而不同. 在大量的试验下，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小. 因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 随机变量的均值与样本均值的关系 实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形. 事件的频率 事件的概率 样本的均值 随机变量的均值 稳定到 稳定到 类比 类比 Part 03 离散型随机变量 均值的性质 问题探究 如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即和其中为常数