第七章 7.1.2 全概率公式-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 7.1.2 全概率公式 授课人：XXX 学习目标 结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 了解贝叶斯公式. 核心素养 数学抽象 全概率公式. 01 逻辑推理 从特殊到一般的思想方法. 02 数学运算 运用全概率公式求事件概率. 03 知识回顾 条件概率的两种计算方法： 1 利用事件包含的样本点数计算 2 利用事件，发生的概率计算 知识回顾 条件概率与事件独立性的关系： 当时 事件发生与否不影响事件发生的概率 事件与相互独立 ⇕ ⇕ ⇕ 知识回顾 概率的乘法公式： 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则 我们称上式为概率的乘法公式. 课程导入 在计算较复杂事件概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件的运算结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 我们还想知道，在这样的计算概率的过程中，还有什么规律和方法我们尚未发现，我们能总结出多少计算概率的好方法呢？ 让我们先从求一个复杂随机事件的概率做起吧！ Part 01 全概率公式及其 应用 问题探究 问题1 从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响，不能仅凭感觉来作判断，而要进行严格的数学证明. 问题探究 追问1 你能证明第2次摸到红球的概率是 吗？你是怎样证明的？ 用表示事件“第次摸到红球”， 表示事件“第次摸到蓝球”， . 我们可以用图形来表示事件之间的关系. 问题探究 如图所示， 事件可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即 问题探究 利用概率的加法公式和乘法公式，得 问题探究 上述过程采用的方法是： 按照某种标准， 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并， 再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 问题探究 追问2 以上的证明蕴含着怎样的思想？将以上的问题一般化，你能得到什么结果吗？即设是一组两两互斥的事件，，且，，对于任意事件，求事件的概率. 通过对上述证明过程的一般化推广，如图所示，可归纳出 定义 全概率公式的定义 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 全概率公式的定义 全概率公式 展开后的形式： 右侧含有个条件概率，分别为在事件发生的条件下，事件发生的概率. 由乘法公式得 全概率公式的定义 全概率公式的使用条件： 注意 两两互斥. 1 . 2 ，. 3 这两个条件的称为的一个完备事件组（或划分）. 全概率公式的定义 问题2 如何理解全概率公式中的“全”呢？ 使用全概率公式计算目标事件的概率，必须先找到样本空间的一个完备事件组，而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件产生的个原因. 全概率公式相当于将产生的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是＂全＂的含义所在. 概括来说，＂全＂指的是对目标事件有贡献的全部原因. 应用中要将全部原因找出来，缺一不可，才构成样本空间的完备事件组. 例题解析 某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6； 如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. 例4 第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 分析： 例题解析 可借助树状图来理解： 如图所示，其中表示“第天去餐厅用餐”， 表示“第天去餐厅用餐”. 例题解析 设 “第天去餐厅用餐” ，“第天去餐厅用餐” ， 解： 则 ， 且与互斥，根据题意得 由全概率公式，得 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 例题解析 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. 例5 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率. 例题解析 取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能. 设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”. 如图所示，可将事件表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件的概率. 分析： 例题解析 设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”. 解： 则 ，且，，两两互斥，根据题意得