第10章 重难突破系列(七) 概率与统计的综合问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

重难突破系列(七)　概率与统计的综合问题　► 对应学生用书P219 概率与统计在高考中常以概率与统计图表､回归分析及独立性检验相结合来考查,侧重样本数字特征的应用,突出了对应用意识､数据处理能力及创新能力的考查． 题型一　概率与频率分布直方图的综合应用 [例1]为了调查某省高中男生身高情况,现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，……，第六组[182.5，187.5]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图． (1)求该学校高三年级男生的平均身高； (2)利用分层抽样的方式，从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数； (3)从(2)中选出的身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的男生中任意抽取2人,求此2人来自于不同组的概率． 解：(1)由直方图可知该校高三年级男生的平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm). (2)由频率分布直方图知，后两组的频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10，故抽出的20人中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为4. (3)由(2)知，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的4人中有2人来自，记作B1，B2，从中选出2人共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)6个基本事件． 其中有4种情况来自不同组，从而所求概率P＝. 【思维升华】　破解概率与统计图表综合问题的3步骤 【考点集训】 1．学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题． (1)试估计该班级同学数学成绩的平均分； (2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的频率． 解：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6， 故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6. (2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n. 从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件,列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn．其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn． 故选出的两人在同一组的概率P＝． 题型二　概率与茎叶图及数字特征综合 为了解甲､乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲､乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元． (1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数； (2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率； (3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费． 解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为×(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33. (2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则当a＝35时，X＝140， 当a>35时，X＝35×4＋(a－35)×7， 令X＝35×4＋(a－35)×7>182，得a>41，则a的取值为44，42， 所以X>182的概率P＝＝. (3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203， 所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元). 【