第2章 创新拓展系列(一) 函数的对称性及其应用（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

创新拓展系列(一)·函数的对称性及其应用 函数对称性及有关结论 (1)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＝f(N)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于直线x＝对称； (2)对于函数y＝f(x)，若有f(M)＋f(N)＝b(常数)且M＋N＝a(常数)，则其图象关于点中心对称； (3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和x＝b对称，则函数具有周期性，且周期T＝2|a－b|； 若函数y＝f(x)的图象关于点和点对称，则函数具有周期性，且周期T＝2； 若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称和点(b，0)对称，则函数具有周期性，且周期T＝4|a－b|. [例1] (2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：选D．因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g＝g， 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)， 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f(x)＋＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2， 所以f＋f＋…＋f＝×5＝－10， f＋f＋…＋f＝×5＝－10. 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f＝1，所以f(2)＝－2－f＝－3. 因g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g＋g＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g＝6， 因为f(x)＋g(x＋2)＝5， 所以f＝5－g＝－1. 所以(k)＝f＋f＋[f＋f ＋…＋f]＋[f＋f＋…＋f]＝－1－3－10－10＝－24. [例2] (2023·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn), 则(xi＋yi)＝(　　) A．n B．2n C．3n D．4n 解析：选C．因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sin πx＋2，所以g(x)的图象也关 于(1，2)对称，所以i＝n，i＝2n，所以(xi＋yi)＝3n，故选C． 【思维升华】　函数的对称性常与奇偶性、周期性结合，解决此问题的关键是抓住三者之间联系转化求解问题． [课下巩固检测卷(六)] ________________________________________________________________________ A－基础巩固题组 1．已知函数f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，1)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，1)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，1)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，1)上单调递减 解析：选D．对于f(x) ＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，有解得－1<x<1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．因为f(－x)＝ln (2－2x)＋ln (3＋3x)＝ln [2(1－x)]＋ln [3(1＋x)]＝ln 2＋ln (1－x)＋ln 3＋ln (1＋x)＝ln (3－3x)＋ln (2＋2x) ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．由对数运算性质知f(x)＝ln (2＋2x) ＋ln (3－3x)＝ln [(2＋2x)(3－3x)]＝ln [6(1－x2)]＝ln 6＋ln (1－x2)(－1<x<1)，设u＝1－x2，y＝ln u，则u＝1－x2在(0，1)上单调递减，函数y＝ln u单调递增，由复合函数单调性可知函数f(x)在(0，1)上单调递减，故选D． 2．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x＋)＝f(x－)，则f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选D．当x>时，f(x＋)＝f(x－)，即周期为1.则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.故选D． 3．(2023·江西赣州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(